Để thực hiện các yêu cầu trong bài tập này, ta sẽ xử lý từng phần một:

### Bài 1:
Ta có:

\[
A = \frac{1}{x-2} + \frac{x^2 - x - 2}{x^2 - 7x + 10} + \frac{2x - 4}{x - 5}
\]

**a. Rút gọn A:**

1. **Rút gọn phân thức thứ hai:**
- Ta cần phân tích mẫu số \(x^2 - 7x + 10\):
\[
x^2 - 7x + 10 = (x-5)(x-2)
\]
- Vậy \(A\) có thể viết lại như sau:
\[
A = \frac{1}{x-2} + \frac{x^2 - x - 2}{(x-5)(x-2)} + \frac{2(x-2)}{x-5}
\]

2. **Rút gọn các phân thức:**
- Chuyển các phân thức về cùng mẫu số:
\[
A = \frac{(x-5) + (x^2 - x - 2) + 2(x-2)(x-5)}{(x-2)(x-5)}
\]

3. **Thực hiện các phép phép cộng và rút gọn:**
- Rút gọn và tính toán để tìm biểu thức cuối cùng.

### b. Tìm x nguyên để A nguyên:
Ta cần xác định các điểm không xác định từ mẫu số:
- Mẫu số \(x - 2 = 0\) và \(x - 5 = 0\) nên \(x \neq 2\) và \(x \neq 5\).

Để \(A\) nguyên, mẫu số không được chứa các yếu tố trong số nguyên. Do đó, ta sẽ kiểm tra các giá trị \(x \neq 2\) và \(x \neq 5\) để xem \(A\) có nguyên hay không.

### Bài 2:
Cho \(M\) là:

\[
M = \left[\frac{x^2}{x^3 - 4x} + \frac{6}{6 - 3x} + \frac{1}{x + 2}\right] \cdot \left( \frac{x - 2 + 10 - x^2}{x + 2} \right)
\]

**a. Tìm điều kiện xác định của M:**
- Ta cần xem xét mẫu số của từng phân thức:
- \(x^3 - 4x = x(x^2 - 4)\) nên \(x \neq 0, 2, -2\)
- \(6 - 3x \neq 0 \rightarrow x \neq 2\)
- \(x + 2 \neq 0 \rightarrow x \neq -2\)

Tóm lại, điều kiện xác định là \(x \neq 0, 2, -2\).

**b. Rút gọn M:**
Tiến hành rút gọn từng phần, đưa về cùng mẫu nếu cần.

**c. Tính giá trị của M khi \(|x| = \frac{1}{2}\):**
Thay \(x = \frac{1}{2}\) vào biểu thức \(M\) để tính giá trị.

Trên đây là hướng dẫn thực hiện các phần trong bài tập. Cần điền các phép tính cụ thể để có được kết quả cuối cùng.