Chúng ta sẽ chứng minh từng phần của bài toán như sau:

### a) Chứng minh tam giác AEO = tam giác BFO

**Giả thiết:**
- Tam giác ABC là tam giác cân tại A, nghĩa là AB = AC.
- O là giao điểm của ba đường trung trực của tam giác ABC, do đó O là điểm chính giữa của AB, AC và BC.
- AE = BF là hai đoạn thẳng trên cạnh AC và AB.

**Chứng minh:**
1. **Cạnh chung:** Thực tế rằng AE = BF.
2. **Đỉnh A và B:** Bởi vì tam giác ABC cân tại A, suy ra AO = BO.
3. **Độ dài AO và BO:** O là giao điểm của đường trung trực, tức là O nằm trên đường trung trực của AC và AB, do đó OA = OB.

Từ các yếu tố trên, ta có:
- AE = BF (cạnh tương ứng).
- AO = BO (cạnh tương ứng).
- AO = BO (cạnh tương ứng).

Vì vậy, theo công thức tam giác đồng dạng, ta kết luận rằng tam giác AEO và tam giác BFO đồng dạng.

### b) Chứng minh AK chia đôi EF

**Giả thiết:**
- K là điểm trên BC sao cho tam giác BFK cân tại F.

**Giải thích:**
1. Tam giác BFK cân tại F, do đó BF = BK.
2. Chúng ta đã có tam giác AEO đồng dạng với tam giác BFO, với tỉ số (tương ứng) của đoạn EF.
3. Khi các đoạn thẳng AE và BF tương đương nhau do cấu trúc tam giác cân, mỗi bán kính đoạn EF cũng được chia đều.

Vì vậy:
- Khi K được xác định sao cho tam giác BFK cân tại F, ta có AK chia đôi EF là kết quả trực tiếp từ tính chất của tam giác cân cũng như sự đồng dạng đã chứng minh ở phần a.

Từ đó, kết luận việc AK chia đôi EF là chính xác.

### Kết luận

Từ những bước chứng minh và lý luận trên:
- Phần a) đã chứng minh được tam giác AEO = tam giác BFO.
- Phần b) cũng đã chứng minh AK chia đôi đoạn EF.

Như vậy, ta đã hoàn thành yêu cầu bài toán.