Trong tam giác ABC vuông tại A, với đường cao AH, chúng ta có thể sử dụng một số mối quan hệ trong tam giác vuông để giải bài toán.

1. **Đặt AB = 3x** và **AC = 4x** theo tỷ lệ AB/AC = 3/4.

2. **Tính cạnh BC**: Theo định lý Pythagore, ta có:
\[
BC^2 = AB^2 + AC^2
\]
Thay vào đó, ta có:
\[
(3x)^2 + (4x)^2 = 20^2
\]
\[
9x^2 + 16x^2 = 400
\]
\[
25x^2 = 400
\]
\[
x^2 = 16 \Rightarrow x = 4
\]

3. **Tính AB và AC**:
\[
AB = 3x = 3 \cdot 4 = 12 \text{ cm}
\]
\[
AC = 4x = 4 \cdot 4 = 16 \text{ cm}
\]

4. **Tính đường cao AH**: Sử dụng công thức tính đường cao AH trong tam giác vuông:
\[
AH = \frac{AB \cdot AC}{BC}
\]
Thay các giá trị vào:
\[
AH = \frac{12 \cdot 16}{20} = \frac{192}{20} = 9.6 \text{ cm}
\]

5. **Tính HC và HB**: Sử dụng công thức tính đoạn cao trong tam giác vuông, ta có:
\[
HB = \frac{AC^2}{BC} = \frac{16^2}{20} = \frac{256}{20} = 12.8 \text{ cm}
\]
\[
HC = \frac{AB^2}{BC} = \frac{12^2}{20} = \frac{144}{20} = 7.2 \text{ cm}
\]

**Kết quả cuối cùng**:
- \( AB = 12 \text{ cm} \)
- \( AC = 16 \text{ cm} \)
- \( AH = 9.6 \text{ cm} \)
- \( HB = 12.8 \text{ cm} \)
- \( HC = 7.2 \text{ cm} \)