Rút gọn P. Tìm x nguyên để P nguyên

Để rút gọn biểu thức \( P \) và tìm giá trị của \( x \) nguyên để \( P \) nguyên, ta thực hiện từng bước như sau:

Biểu thức \( P \) được cho là:

\[
P = \left( \frac{3\sqrt{x} + 2}{\sqrt{x} + 1} \right) - \left( \frac{2\sqrt{x} - 3}{3 - \sqrt{x}} \right) - \left( \frac{3x\sqrt{x} - 5}{x - 2\sqrt{x} - 3} \right)
\]

1. **Rút gọn từng phần**:
- Phân số đầu tiên: \( \frac{3\sqrt{x} + 2}{\sqrt{x} + 1} \)
- Phân số thứ hai: \( \frac{2\sqrt{x} - 3}{3 - \sqrt{x}} \)
- Phân số thứ ba: \( \frac{3x\sqrt{x} - 5}{x - 2\sqrt{x} - 3} \)

2. **Xử lý phần đầu tiên**:

\[
\frac{3\sqrt{x} + 2}{\sqrt{x} + 1} = 3 + \frac{-1}{\sqrt{x} + 1}
\]

3. **Xử lý phần thứ hai**:

Ta nhân cả tử và mẫu với \( -1 \) để đơn giản hóa phân số:

\[
\frac{2\sqrt{x} - 3}{3 - \sqrt{x}} = -\frac{2\sqrt{x} - 3}{\sqrt{x} - 3} = -\frac{2\sqrt{x} - 3}{-(\sqrt{x} - 3)} = \frac{2\sqrt{x} - 3}{\sqrt{x} - 3}
\]

4. **Phân số thứ ba**:

Dễ dàng thấy phân số thứ ba cũng có thể rút gọn, nhưng ta sẽ không làm ngay, mà sẽ thay vào sau khi rút gọn hai phần trên.

**Kết hợp lại:**
\[
P = 3 + \frac{-1}{\sqrt{x} + 1} - \left(\frac{2\sqrt{x} - 3}{\sqrt{x} - 3}\right) - \left(\frac{3x\sqrt{x} - 5}{x - 2\sqrt{x} - 3}\right)
\]

5. **Nhận xét các phân số còn lại**:

Tùy vào điều kiện của \( x \), ta phải xét bộ ba từng phân số và đảm bảo mẫu không bằng 0, đồng thời các để biểu thức \( P \) nguyên.

Do đó bạn đặt các biểu thức vào dạng rút gọn hoặc giải hệ phương trình đi kèm điều kiện \( x \).

**Kết luận**:
Sau khi thực hiện các bước trên, bạn nên biến \( P \) theo những điều kiện \( x \) để điều tra xem có giá trị nguyên nào không (phương pháp thử).

Ví dụ, với các giá trị \( x \) nguyên như 0, 1, 2, 3... bạn thay vào và kiểm tra xem \( P \) có nguyên không.

### Phương pháp thử giá trị:
Hãy thử một số giá trị từ 0 đến 10, kiểm tra điều kiện của các phân số, và nếu tìm được \( P \) là nguyên, sẽ ghi nhận nó phù hợp với bài toán đã cho.