Để tìm giá trị của \( m \) sao cho giao điểm của hai đường thẳng \( mx - y = 2 \) và \( 3x + my = 5 \) nằm trong góc phần tư thứ IV, trước hết ta cần xác định tọa độ giao điểm của hai đường thẳng này.

Giải hệ phương trình:

1. \( y = mx - 2 \)
2. Thay giá trị \( y \) vào phương trình thứ hai:

\[
3x + m(mx - 2) = 5 \\
3x + m^2x - 2m = 5 \\
(m^2 + 3)x - 2m - 5 = 0
\]

Từ đó, ta có phương trình cho \( x \):

\[
x = \frac{2m + 5}{m^2 + 3}
\]

Tiếp theo, để tìm \( y \):

\[
y = m\left(\frac{2m + 5}{m^2 + 3}\right) - 2 = \frac{m(2m + 5) - 2(m^2 + 3)}{m^2 + 3} = \frac{2m^2 + 5m - 2m^2 - 6}{m^2 + 3} = \frac{5m - 6}{m^2 + 3}
\]

Giao điểm \( (x, y) \) sẽ nằm trong góc phần tư thứ IV nếu \( x > 0 \) và \( y < 0 \).

### Điều kiện

1. **Điều kiện \( x > 0 \)**:

\[
\frac{2m + 5}{m^2 + 3} > 0
\]

Điều này xảy ra khi:
- \( 2m + 5 > 0 \) và \( m^2 + 3 > 0 \) (luôn đúng)
- Hoặc \( 2m + 5 < 0 \) và \( m^2 + 3 < 0 \) (không xảy ra)

Vậy điều kiện cụ thể là:

\[
2m + 5 > 0 \implies m > -\frac{5}{2}
\]

2. **Điều kiện \( y < 0 \)**:

\[
\frac{5m - 6}{m^2 + 3} < 0
\]

Điều này xảy ra khi:
- \( 5m - 6 < 0 \) và \( m^2 + 3 > 0 \) (luôn đúng)

Vậy có:

\[
5m - 6 < 0 \implies m < \frac{6}{5}
\]

### Kết hợp điều kiện

Từ hai điều kiện trên, ta có:

\[
-\frac{5}{2} < m < \frac{6}{5}
\]

### Tìm giá trị nguyên (m ∈ Z)

Các giá trị nguyên trong khoảng trên là:

\[
m = -2, -1, 0, 1
\]

### Kết luận

Các giá trị của \( m \) trong các số nguyên sao cho giao điểm nằm trong góc phần tư thứ IV là:

\[
m = -2, -1, 0, 1
\]