Tìm m để đô thị

Để tìm giá trị của \( m \) sao cho đồ thị của hàm số \( (C_m) : y = x^3 - 2x^2 - (3m - 1)x + m + 3 \) cắt đường thẳng \( d : y = (1 - m)x + m - 5 \) tại ba điểm phân biệt có hoành độ \( x_1 < x_2 < x_3 \), ta tiến hành các bước sau:

1. **Cắt nhau giữa hai đồ thị**: Để tìm các điểm cắt nhau, ta đặt phương trình:
\[
x^3 - 2x^2 - (3m - 1)x + m + 3 = (1 - m)x + m - 5
\]
Dễ dàng biến đổi phương trình trên thành:
\[
x^3 - 2x^2 - (2 - 2m)x + 8 = 0
\]
Phương trình này sẽ được gọi là phương trình \( P(x) = x^3 - 2x^2 - (2 - 2m)x + 8 \).

2. **Điều kiện có 3 nghiệm phân biệt**: Để phương trình \( P(x) = 0 \) có ba nghiệm phân biệt, đạo hàm của \( P(x) \) phải có ba nghiệm phân biệt. Tính đạo hàm:
\[
P'(x) = 3x^2 - 4x - (2 - 2m)
\]

3. **Xét điều kiện có hai nghiệm phân biệt cho \( P'(x) = 0 \)**: Tính delta để đảm bảo rằng đạo hàm có hai nghiệm phân biệt:
\[
\Delta = (-4)^2 - 4 \cdot 3 \cdot (-(2 - 2m)) = 16 + 12(2 - 2m) = 16 + 24 - 24m = 40 - 24m
\]
Để delta dương:
\[
40 - 24m > 0 \implies m < \frac{40}{24} \implies m < \frac{5}{3}
\]

4. **Để có ba nghiệm phân biệt**: Khi \( P'(x) = 0 \) có hai nghiệm phân biệt, giá trị của \( P(x) \) tại các nghiệm của \( P'(x) \) phải khác dấu để đảm bảo rằng \( P(x) = 0 \) có ba nghiệm phân biệt.

5. **Tính \( P(x) \)** tại các nghiệm \( x_1 \) và \( x_2 \) của \( P'(x) \) để xét dấu của \( P(x) \). Kết quả sẽ cho ta tìm được đúng khoảng giá trị cho \( m \).

Ta sẽ cần phân tích cụ thể để xác định chính xác:

- Các nghiệm của \( P'(x) \).
- Dấu của \( P(x) \) tại các nghiệm đó.

Tóm lại, giá trị của \( m \) cần thỏa mãn tất cả các điều kiện trên. Bạn có thể áp dụng các bước trên để tìm ra khoảng giá trị của \( m \).