Để giải bài toán này, ta sẽ tiến hành từng bước như đã cho theo yêu cầu.

### a) Chứng minh CK = KN

Trước tiên, hãy vẽ tam giác ABC và trung tuyến AM:

- Gọi A, B, C là 3 điểm trên mặt phẳng, với M là trung điểm của đoạn thẳng BC.
- I là trung điểm của AM.
- BI cắt cạnh AC tại N.
- K là điểm trên AC sao cho MK // BN.

Ta có:
- BI và MK đều là các đoạn thẳng nằm trên cùng một mặt phẳng.
- Theo quy tắc tỷ lệ, vì K được xác định là nơi MK // BN, ta có tỉ lệ đoạn thẳng như sau:

Do MK // BN, theo tính chất của các đường song song, ta có tỉ lệ:
\[
\frac{CK}{KN} = \frac{CM}{MB}
\]
Vì M là trung điểm của BC, nên:
\[
CM = MB
\]
Dẫn đến:
\[
\frac{CK}{KN} = 1 \implies CK = KN
\]

### b) Chứng minh AN = 1/3 AC

Để chứng minh rằng AN = 1/3 AC, chúng ta lại sử dụng các tính chất của tam giác và các trung điểm:

Xét điểm N, là giao điểm của BI với AC, và ta đã biết CK = KN. Khi đã biết CK = KN, ta có:
\[
AC = AN + NC
\]
Vì N nằm giữa A và C. Theo tỉ lệ:
\[
AN: NC = 1:2
\]
Khi đó, chúng ta có:
\[
AN + 2AN = AC \implies 3AN = AC \implies AN = \frac{1}{3} AC
\]

### c) Tính tỉ số BI/IN

Bây giờ, để tính tỉ số \( \frac{BI}{IN} \), ta sử dụng cách tính tỉ lệ theo các đoạn thẳng.

Theo tỉ lệ của trung điểm I, chúng ta có:
- \( BI \) là đoạn nối từ điểm B đến trung điểm A của đoạn AM.
- \( IN = AN/2 \), vì I là trung điểm.

Vì AN = 1/3 AC (theo phần b), ta có:
\[
IN = \frac{1}{2} AN = \frac{1}{2} \left( \frac{1}{3} AC \right) = \frac{1}{6} AC
\]

Nếu biết \( BI = B M + MI \) (với M là trung điểm của BC), do đó \( BI = 2IN \):
\[
\frac{BI}{IN} = 2
\]

Vậy:
\[
\frac{BI}{IN} = 2
\]

### Kết luận

- CK = KN.
- AN = \( \frac{1}{3} AC \).
- \( \frac{BI}{IN} = 2 \).

Hy vọng rằng bạn đã hiểu rõ ý tưởng và các bước giải bài toán này!