Để xác định độ lớn lực đàn hồi tác dụng vào vật tại thời điểm \( t = \frac{1}{6} \) s, trước tiên ta cần tìm giá trị vị trí \( x \) của vật tại thời điểm này.

Phương trình dao động của vật là:
\[
x(t) = 4 \cos(4 \pi t - \frac{\pi}{3}) \text{ cm}
\]

Bây giờ, chúng ta sẽ thay \( t = \frac{1}{6} \) s vào phương trình trên:
\[
x\left(\frac{1}{6}\right) = 4 \cos\left(4 \pi \cdot \frac{1}{6} - \frac{\pi}{3}\right)
= 4 \cos\left(\frac{2\pi}{3} - \frac{\pi}{3}\right)
= 4 \cos\left(\frac{\pi}{3}\right)
= 4 \cdot \frac{1}{2}
= 2 \text{ cm}
\]

Tiếp theo, chúng ta cần tính lực đàn hồi \( F_h \) của lò xo. Lực đàn hồi được tính theo công thức:
\[
F_h = -k x
\]
Trong đó \( k \) là hệ số đàn hồi của lò xo. Để tính được \( k \), chúng ta cần biết thông tin về khối lượng và gia tốc trọng trường.

Khối lượng \( m = 100 \) g = \( 0.1 \) kg.

Khi vật đạt vị trí cân bằng, lực trọng lực sẽ bằng lực đàn hồi:
\[
mg = kx_0
\]
Tại vị trí cân bằng, \( x_0 \) chính là độ biến dạng của lò xo tại vị trí cân bằng.

Lực trọng lực:
\[
mg = 0.1 \cdot 10 = 1 \text{ N}
\]

Chúng ta có phương trình \( F_h = kx_0 = 1 \text{ N} \). Khi không biết \( k \) và \( x_0 \), ta cần xác định \( k \).

Từ phương trình dao động, tần số góc \( \omega = 4\pi \) rad/s, nên ta cũng có:
\[
\omega = \sqrt{\frac{k}{m}} \Rightarrow k = m \omega^2 = 0.1 \cdot (4\pi)^2 = 0.1 \cdot 16\pi^2 = 1.6\pi^2 \text{ N/m}
\]

Giờ hãy tính lực đàn hồi khi \( x = 2 \text{ cm} = 0.02 \text{ m} \):
\[
F_h = -k x = - (1.6\pi^2) \cdot 0.02
\]

Tính toán giá trị:
\[
F_h = - (1.6 \cdot 9.87) \cdot 0.02 = -0.03152 \text{ N}
\]

Độ lớn lực đàn hồi:
\[
|F_h| = 0.03152 \text{ N}
\]

Vậy độ lớn của lực đàn hồi tác dụng vào vật tại thời điểm \( t = \frac{1}{6} \) s là khoảng \( 0.03152 \text{ N} \).