Dưới đây là phân tích thành nhân tử cho các biểu thức đã cho:

### a) \(x^4 - 14x^2 + 24\)

Đặt \(y = x^2\), ta có:
\[
y^2 - 14y + 24
\]
Giải phương trình bậc hai:
\[
y = \frac{14 \pm \sqrt{196 - 96}}{2} = \frac{14 \pm 10}{2}
\]
Giá trị của \(y\) là \(12\) và \(2\). Do đó,
\[
y^2 - 14y + 24 = (y - 12)(y - 2)
\]
Quay lại với \(x\):
\[
x^4 - 14x^2 + 24 = (x^2 - 12)(x^2 - 2)
\]

### b) \(x^4 + 4y^4\)

Sử dụng công thức tổng hợp số hạng:
\[
x^4 + 4y^4 = x^4 + (2y^2)^2 = (x^2 + 2y^2)^2 - (2xy)^2
\]
Áp dụng công thức hạng tử:
\[
= (x^2 + 2y^2 - 2xy)(x^2 + 2y^2 + 2xy)
\]

### c) \(81x^4 + 4\)

Sử dụng công thức tổng hợp số hạng:
\[
81x^4 + 4 = (9x^2)^2 + (2)^2 = (9x^2 - 2)(9x^2 + 2)
\]

### d) \(4x^4 + 1\)

Biểu thức này không thể phân tích thành nhân tử với các số nguyên. Nên giữ nguyên.

### e) \(x^5 + x + 1\)

Biểu thức này cũng không có dạng phân tích thành nhân tử đơn giản. Nên giữ nguyên.

### f) \(x^8 + x^7 + 1\)

Phát hiện dạng khác của biểu thức:
\[
x^8 + x^7 + 1 = x^7(x + 1) + 1
\]
Không có cách phân tích dễ hơn. Nên giữ nguyên.

Tóm lại:
- a) \( (x^2 - 12)(x^2 - 2) \)
- b) \( (x^2 + 2y^2 - 2xy)(x^2 + 2y^2 + 2xy) \)
- c) \( (9x^2 - 2)(9x^2 + 2) \)
- d) Giữ nguyên.
- e) Giữ nguyên.
- f) Giữ nguyên.