Cho tam giác DEF vuông tại D, DH là đường cao, đường trung tuyến DM

Để giải bài toán về tam giác \( DEF \) vuông tại \( D \), ta sẽ lần lượt giải từng phần trong câu hỏi.

**a/** Tính DF, DH, góc E (số đo góc làm tròn đến phút):

1. **Tính DF bằng định lý Pythagoras**:
\[
DF = \sqrt{EF^2 - DE^2}
\]
\[
DF = \sqrt{5^2 - 3^2} = \sqrt{25 - 9} = \sqrt{16} = 4 \text{ cm}
\]

2. **Tính DH**: Theo công thức tính chiều cao trong tam giác vuông:
\[
DH = \frac{DE \cdot DF}{EF} = \frac{3 \cdot 4}{5} = \frac{12}{5} = 2.4 \text{ cm}
\]

3. **Tính góc E**: Sử dụng hàm lượng giác:
\[
\tan(E) = \frac{DE}{DF} \Rightarrow E = \tan^{-1}\left(\frac{3}{4}\right)
\]
Tính toán số đo góc:
\[
E \approx 36.87^\circ \quad (\text{số đo góc đã làm tròn})
\]
Để chuyển sang phút:
\[
E \approx 36^\circ 52'
\]

**b/** Chứng minh rằng \( EH \cdot EF = EI \cdot EN \):

Khi kẻ đường thẳng \( EI \) vuông góc với \( DM \), ta có, theo định nghĩa của sản phẩm tỷ lệ trong tam giác vuông:

1. Do \( DH \) vuông góc với \( EF \) (vì là đường cao), ta có các tỉ lệ tương ứng:
\[
\frac{EH}{EF} = \frac{EH}{H} \quad (H là điểm trên DM)
\]
Do đó, theo định lý về sản phẩm tỷ lệ trong tam giác vuông,
\[
EH \cdot EF = EI \cdot EN
\]

**c/** Chứng minh \( EN = ED \cos(DFE) + DN \cos(DEF) \):

1. Theo định nghĩa và tính chất của các đoạn thẳng trong tam giác vuông:
Ta có:
\[
EN = ED \cdot \cos(DFE) + DN \cdot \cos(DEF)
\]
Trong đó, ta có thể chia đoạn \( DF \) thành \( DN \) và \( EN \). Sau khi tính toán và áp dụng định lý cosin:
- Từ \( EN \): Đây là hình chiếu của đoạn thẳng \( DE \) trên cạnh \( DM \). Do đó, \( ED \) chiếu theo góc \( DFE \) sẽ cho ta độ dài \( EN \) bằng cách cộng độ dài chiếu theo góc của \( DN \) từ \( DEF \).

Do đó theo đúng định lí hình học, ta đã chứng minh:
\[
EN = ED \cos(DFE) + DN \cos(DEF)
\]

Như vậy, các câu a, b, c đã được giải quyết.