Để chứng minh tứ giác \( AHCD \) là hình chữ nhật, ta sẽ phân tích từng phần như sau:

### a) Chứng minh tứ giác AHCD là hình chữ nhật.

1. **Lập luận về các điểm:**
- Tam giác \( ABC \) là tam giác cân tại \( A \), tức là \( AB = AC \).
- H là điểm trung tuyến, tức là \( H \) là trung điểm của cạnh \( BC \).
- \( O \) là trung điểm của đoạn \( AC \).
- \( D \) là điểm đối xứng với \( H \) qua \( O \).

2. **Xét các cặp điểm:**
- Do \( O \) là trung điểm của \( AC \) nên \( AO = OC \).
- Từ nguyên lý đối xứng qua một điểm, ta có \( OH = OD \).

3. **Chứng minh các cạnh:**
- Vì \( ABC \) là tam giác cân tại \( A \), độ dài các đoạn \( AB \) và \( AC \) bằng nhau.
- Khi đó, do \( H \) là trung điểm của \( BC \) và \( O \) là trung điểm của \( AC \), ta có:
\[
AH = OH \quad và \quad OD = OH.
\]

4. **Chứng minh các góc:**
- Xét bốn điểm \( A, H, C, D \):
- Góc \( AHA \) và góc \( HCD \) đều là \( 90^\circ \) vì \( AH \) vuông góc với \( BC \) (đường trung tuyến kẻ từ đỉnh của tam giác cân).
- Do đó, \( AH \parallel CD \) và \( AD \parallel HC \).

5. **Kết luận:**
- Như vậy, chúng ta có:
- \( AH \) vuông góc với \( CD \) và chiều dài của \( AH \) bằng chiều dài của \( CD \).
- Tương tự, \( AD \) vuông góc với \( HC \) và chiều dài của \( AD \) bằng chiều dài của \( HC \).
- Do đó, từ các đặc điểm trên, ta có thể khẳng định \( AHCD \) là hình chữ nhật.

### b) Tứ giác AHCD là hình gì? Vì sao?

Tứ giác \( AHCD \) là một hình chữ nhật như đã chứng minh ở phần a.

**Lý do:**
1. Trong hình chữ nhật, các cạnh đối diện vừa song song vừa bằng nhau.
2. Hơn nữa, các góc của nó đều là góc vuông.
3. Các tính chất vừa chứng minh cho thấy rằng \( AHCD \) thỏa mãn tất cả các tính chất của hình chữ nhật.

Vì vậy, tứ giác \( AHCD \) là hình chữ nhật.