Để chứng minh \( AB \perp MN \), ta thực hiện các bước sau:

1. **Xác định các điểm**:
- Cho đường tròn \( O \) với đường kính \( AB \) và dây cung \( MN \).
- Điểm \( I \) là trung điểm của dây \( MN \).

2. **Chứng minh tính chất của dây cung**:
- Theo định lý, nếu một đường kính của đường tròn đi qua trung điểm của một dây cung, thì nó sẽ vuông góc với dây cung đó.

3. **Sử dụng định lý về đường kính**:
- Từ \( O \) đến \( I \) và \( M, N \) đều nằm trên đường tròn. Ta có:
\[
OM = ON = r \quad (\text{với } r \text{ là bán kính})
\]
- Do \( I \) là trung điểm của \( MN \), có:
\[
IM = IN
\]

4. **Áp dụng định lý Pythagore**:
- Trong tam giác vuông \( OIM \) (hoặc \( OIN \)):
\[
OM^2 = OI^2 + IM^2
\]
- Tương tự cho tam giác \( OIN \):
\[
ON^2 = OI^2 + IN^2
\]

5. **Kết luận**:
- Vì \( OM = ON \) và \( IM = IN \), suy ra \( AB \perp MN \).

Vậy, \( AB \) vuông góc với \( MN \). Chúng ta đã chứng minh thành công rằng đường kính đi qua trung điểm của dây cung sẽ vuông góc với dây cung đó.