Để chứng minh \( I \) là trung điểm của dây \( MN \), ta có thể thực hiện các bước sau:

1. **Sử dụng tính đối xứng trong hình tròn**:
- Gọi \( O \) là tâm của đường tròn.
- Vì \( AB \) là đường kính, nên \( OA = OB \).
- Ta biết rằng đường kính vuông góc với một dây sẽ chia dây đó thành hai đoạn bằng nhau.

2. **Chứng minh đoạn thẳng \( MI \) và \( NI \) bằng nhau**:
- Xét các tam giác vuông \( OIM \) và \( OIN \).
- Cả hai tam giác này đều có cạnh huyền là \( OI \) (đường từ \( O \) đến \( I \)).
- Cạnh \( OM \) và \( ON \) đều bằng bán kính của đường tròn.

3. **Áp dụng tính chất hình học**:
- Do \( AB \) vuông góc với \( MN \) tại điểm \( I \), nên góc \( OIM = OIN = 90^\circ \).
- Do đó, hai tam giác vuông \( OIM \) và \( OIN \) là đồng dạng theo định lý cạnh huyền.

4. **Kết luận**:
- Suy ra \( MI = NI \).
- Điều này có nghĩa là \( I \) là trung điểm của đoạn thẳng \( MN \).

Vậy \( I \) chính là trung điểm của dây \( MN \) như yêu cầu.