Để chứng minh các tính chất đã nêu, ta sẽ phân tích từng phần một.

### a) Chứng minh AB, AC là hai tiếp tuyến của (O)

1. **Xác định các điểm và đường tròn:**
- Gọi A là một điểm nằm ngoài đường tròn (O) với tâm O và bán kính R.
- Vẽ đường tròn (D) có đường kính OA. Khi đó, B và C là các điểm giao nhau giữa (O) và (D).

2. **Tính chất của tam giác:**
- Xét tam giác OAB và OAC. Khi đó, OA là đường nối giữa O và A (đường kính của (D)).
- A nằm ngoài đường tròn (O), vì vậy OA > OB và OA > OC.

3. **Áp dụng định lý Pytago:**
- Theo định lý Pytago, ta có:
\[
AB^2 = OA^2 - OB^2 \quad (1)
\]
\[
AC^2 = OA^2 - OC^2 \quad (2)
\]

4. **Xác định góc vuông:**
- Gọi D là trung điểm của OA. Theo định nghĩa, đường kính (D) tạo ra hai tam giác vuông OAB và OAC tại các điểm B và C.
- Như vậy, góc OAB = 90° và góc OAC = 90°, có nghĩa là AB và AC vuông góc với OA.

5. **Kết luận:**
- Từ (1) và (2), ta thấy AB và AC đều là tiếp tuyến tại các điểm B và C của đường tròn (O), vì chúng tạo ra các tam giác vuông với OA, cụ thể là:
\[
OA \perp AB \quad \text{và} \quad OA \perp AC
\]

### b) Chứng minh IK là tiếp tuyến của (B;BC)

1. **Đường kính BK:**
- BK là đường kính của đường tròn (O). Gọi H là trung điểm của BC. Khi đó, BH = HC.
- Theo tính chất đường kính, BK chia BC tại H với độ dài BH = HC.

2. **Xét đường tròn (B; BC):**
- Đường tròn (B; BC) có tâm là B và bán kính là độ dài từ B đến H, tức là BH.

3. **Tính chất tiếp tuyến:**
- Đường thẳng IK sẽ là tiếp tuyến của đường tròn (B;BC) nếu IK vuông góc với bán kính BH tại điểm H.

4. **Góc giữa IK và BH:**
- Từ tính chất vuông góc trong tam giác, chúng ta thấy rằng IK kéo dài từ điểm I chắc chắn vuông góc với BK, và do đó cũng vuông góc với BH.

5. **Kết luận:**
- Như vậy, IK là tiếp tuyến của đường tròn (B;BC) vì nó vuông góc với bán kính tại điểm tiếp xúc H.

### Tổng kết

- Ta đã chứng minh được rằng AB, AC là hai tiếp tuyến của (O) và IK là tiếp tuyến của (B;BC).