Để giải bài toán này, ta thực hiện các bước như sau:

### a) Tính khoảng cách OA
1. **Thông tin đã cho:**
- Bán kính đường tròn \( r = 25 \) cm (O là tâm của đường tròn).
- Độ dài dây MN \( d = 40 \) cm.

2. **Tính khoảng cách OA:**
- A là trung điểm của MN, vì vậy:
\[
AM = AN = \frac{d}{2} = \frac{40}{2} = 20 \text{ cm}
\]
- Ta sử dụng hệ thức Pytago trong tam giác OAM:
\[
OA^2 + AM^2 = OM^2
\]
- Trong đó, \( OM = r = 25 \) cm, \( AM = 20 \) cm. Thay vào:
\[
OA^2 + 20^2 = 25^2
\]
\[
OA^2 + 400 = 625
\]
\[
OA^2 = 625 - 400 = 225
\]
\[
OA = \sqrt{225} = 15 \text{ cm}
\]

### b) Tính số đo góc MON
1. **Sử dụng định lý sinh ra từ tam giác OAM để tính số đo góc MON:**
- Từ tam giác OAM, sử dụng công thức lượng giác:
\[
\cos(\angle OAM) = \frac{OA}{OM} = \frac{15}{25} = \frac{3}{5}
\]
- Suy ra:
\[
\angle OAM = \cos^{-1}\left(\frac{3}{5}\right)
\]
- Góc MON là hai lần góc OAM, tức là:
\[
\angle MON = 2 \angle OAM
\]
- Tính giá trị cụ thể:
\[
\angle OAM \approx 53.13^\circ \quad (\text{dùng máy tính để tính})
\]
\[
\angle MON = 2 \times 53.13^\circ \approx 106.26^\circ
\]

2. **Làm tròn đến độ:**
\[
\angle MON \approx 106^\circ
\]

### Kết luận:
- Khoảng cách OA = 15 cm.
- Số đo góc MON ≈ 106°.