Cho tam giác abc nhọn các đường cao ad be cf cắt nhau tại h. Gọi m là trung điểm của bc, s là giao điểm của ef và bc. Chứng minh h là trực tâm của tam giác asm

Để chứng minh điểm \( h \) là trực tâm của tam giác \( ASM \), chúng ta sẽ sử dụng một số tính chất cơ bản của tam giác và đường cao.

1. **Tính chất của tam giác**:
- Giả sử \( D, E, F \) là chân các đường cao kéo từ các đỉnh \( A, B, C \) xuống các cạnh đối diện trong tam giác \( ABC \).
- Điểm \( H \) là giao điểm của ba đường cao \( AD, BE, CF \).
- \( M \) là trung điểm của \( BC \) và \( S \) là giao điểm của \( EF \) (hai đường cao nối từ các đỉnh của tam giác \( ASM \) tới hai cạnh đối diện) và \( BC \).

2. **Xem xét các đường cao**:
- Xét đường cao \( AH \) từ \( A \) đến cạnh \( BC \) của tam giác \( ABC \). Vì \( H \) là giao điểm của các đường cao, \( AH \) vuông góc với \( BC \).
- Tương tự, đường cao từ \( S \) (giao điểm của \( EF \) và \( BC \)) sẽ vuông góc với \( AM \).

3. **Chứng minh \( H \) là trực tâm của tam giác \( ASM \)**:
- Để chứng minh \( H \) là trực tâm của tam giác \( ASM \), chúng ta cần chứng minh than điểm \( H \) nằm trên đường cao của tam giác \( ASM \).
- Chúng ta đã có rằng \( AH \) vuông góc với \( BC \) và \( S \) là nhị phân của \( D \) và \( E \) (giao điểm của đường cao từ \( A \) đến \( BC \)).
- Do đó, \( AH \perp SM \), suy ra \( H \) nằm trên đường cao kéo từ \( A \) trong tam giác \( ASM \).

4. **Kết luận**:
- Vì \( H \) nằm trên đường cao từ đỉnh \( A \) của tam giác \( ASM \) và các đường cao \( S \) từ \( B \) và \( C \) tạo thành ba góc vuông, \( H \) chính là trực tâm của tam giác \( ASM \).

Từ những lý luận và chứng minh trên, chúng ta có thể kết luận rằng điểm \( H \) là trực tâm của tam giác \( ASM \).