Để đếm số lượng chữ số 5 trong dãy số tự nhiên từ 1 đến 2013, chúng ta có thể kiểm tra từng khoảng hàng chữ số: hàng đơn vị, hàng chục, hàng trăm và hàng nghìn.

1. **Hàng đơn vị**:
- Các số có chữ số 5 ở hàng đơn vị là: 5, 15, 25, ..., 2005
- Dãy số này là một cấp số cộng với số hạng đầu là 5, công bội là 10.
- Số hạng cuối của dãy này là 2005, và có thể tìm số hạng cuối nằm trong khoảng 1 đến 2013.
- Các số hợp lệ ở hàng đơn vị trong đoạn này là: 5, 15, 25, ..., 2005.
- Số hạng cuối là 2005 không hợp lệ, vì vượt 2013. Số hạng cuối hợp lệ là 2005 - 10 = 2005 - 10 = 1995.
- Số hạng đầu là 5, số hạng cuối là 2005 - 10 = 2005 - 10 = 1995.
- Khi đó, \((n-1)*10 + 5 \leq 2013\)
- Ta có:
\[
n \leq \frac{2013 - 5}{10} + 1 = 201.
\]
- Tổng có 201 số.

2. **Hàng chục**:
- Các số có chữ số 5 ở hàng chục là: 50, 51, 52, ..., 59; 150, 151, 152, ..., 159; 250, 251, 252, ..., 259; ..., 1950...1959
- Một cách dễ dàng để tính là xác định số lượng số ở mỗi khoảng.
- Từ 50 đến 59 có 10 số.
- Từ 150 đến 159 có 10 số.
- Từ 250 đến 259 có 10 số.
- Từ 950 đến 959 có 10 số.
- Số ở hàng chục từ 5xx: (500-599), (1500-1599) --> 100 số (từ 500 đến 599 có 100 số và từ 1500 đến 1599 cũng có 100 số).
- Tổng cộng số có chữ số 5 ở hàng chục trong khoảng từ 1 đến 2013 là:
\[
10 + 10 + 10 + 10 + 100 + 100 = 240.
\]

3. **Hàng trăm**:
- Chữ số 5 chỉ xuất hiện ở hàng trăm trong khoảng từ 500 đến 599, tức là có 100 số ở hàng trăm.
- Từ 1500 đến 1599 cũng có 100 số.
- Tổng cộng ở hàng trăm là 200.

4. **Hàng nghìn**:
- Chữ số 5 không xuất hiện ở hàng nghìn (trong khoảng từ 1 đến 2013 thì không có số 5 ở hàng nghìn).

Cuối cùng, chúng ta cộng tổng tất cả:
\[
201 (hàng đơn vị) + 240 (hàng chục) + 200 (hàng trăm) = 641.
\]
Vậy, trong dãy số từ 1 đến 2013 có tổng cộng 641 chữ số 5.