Để chứng minh \( NM \perp MQ \), ta sẽ sử dụng các thông tin đã cho.

1. **Đặt các góc**:
- \( \angle NPM = 45^\circ \)
- \( \angle KQM = 135^\circ \)

2. **Tính góc \(\angle PMQ\)**:
- Ta có \( NP \parallel KQ \), nên \( \angle NPM + \angle PMK = 180^\circ \)
- Do đó, \( \angle PMK = 180^\circ - 45^\circ = 135^\circ \).

3. **Góc \(\angle PMQ\)**:
- Ta cũng có \( \angle PMQ = \angle PMK + \angle KQM = 135^\circ + 135^\circ = 270^\circ \).
- Tuy nhiên, điều này không đúng. Ta cần tính \( \angle PMQ \) từ các góc khác.

4. **Góc bên trong tứ giác**:
- Xét tứ giác \( PMQK \):
- \( \angle NPM + \angle KQM + \angle PMK + \angle PMQ = 360^\circ \)
- \( 45^\circ + 135^\circ + 135^\circ + \angle PMQ = 360^\circ \)
- Tính toán để tìm \(\angle PMQ\):
- \( 315^\circ + \angle PMQ = 360^\circ \)
- Vậy \(\angle PMQ = 360^\circ - 315^\circ = 45^\circ\).

5. **Xét tứ giác \(\Delta PMQ\)**:
- Ta nhận thấy rằng \( \angle PMQ + \angle MQK = 180^\circ \) (bởi vì \( MQ \) là đường thẳng, vừa phát hiện từ góc).
- Vì \( \angle MQK = 135^\circ \) và \(\angle PMQ = 45^\circ\), nên:
- \( \angle PMQ + \angle MQK = 45^\circ + 135^\circ = 180^\circ \).

6. **Kết luận**:
- Hai góc \( \angle NMK \) và \( \angle MQK \) có tổng bằng \( 180^\circ \) cho thấy rằng hai đoạn thẳng \( NM \) và \( MQ \) vuông góc với nhau.

Vì vậy, \( NM \perp MQ \), như yêu cầu chứng minh.