Để giải hệ phương trình sau:

\[
\begin{cases}
\frac{x}{x+1} - \frac{y}{y-1} = 3 \quad (1) \\
\frac{x}{x+1} + \frac{3y}{y-1} = -1 \quad (2)
\end{cases}
\]

Ta ký hiệu:

\[
a = \frac{x}{x+1}, \quad b = \frac{y}{y-1}
\]

Hệ phương trình trở thành:

\[
\begin{cases}
a - b = 3 \quad (1') \\
a + 3b = -1 \quad (2')
\end{cases}
\]

Giải phương trình (1') để tìm \(a\):

\[
a = b + 3
\]

Thay \(a\) vào phương trình (2'):

\[
(b + 3) + 3b = -1
\]

Gộp lại:

\[
4b + 3 = -1
\]

Giải cho \(b\):

\[
4b = -1 - 3
\]
\[
4b = -4 \implies b = -1
\]

Thay giá trị của \(b\) vào (1') để tìm \(a\):

\[
a - (-1) = 3 \implies a + 1 = 3 \implies a = 2
\]

Bây giờ ta có:

\[
a = 2 \quad \text{và} \quad b = -1
\]

Thay lại \(a\) và \(b\) về dạng ban đầu:

\[
\frac{x}{x+1} = 2 \quad (3) \quad \text{và} \quad \frac{y}{y-1} = -1 \quad (4)
\]

Giải phương trình (3):

\[
x = 2(x + 1) \implies x = 2x + 2 \implies -x = 2 \implies x = -2
\]

Giải phương trình (4):

\[
y = -1(y - 1) \implies y = -y + 1 \implies 2y = 1 \implies y = \frac{1}{2}
\]

Vậy nghiệm của hệ phương trình là:

\[
(x, y) = (-2, \frac{1}{2})
\]