Để chứng minh và so sánh hai tam giác \( \triangle AMB \) và \( \triangle MCK \), ta cần thực hiện các bước sau:

1. **Vẽ hình**:
- Vẽ tam giác \( \triangle ABC \) với \( AB < AC \).
- Vẽ đường trung trực của cạnh \( BC \) và chỉ ra điểm \( M \) là giao điểm của đường trung trực này với tia phân giác của góc \( \angle BAC \).
- Vẽ hai hình chiếu vuông góc \( H \) và \( K \) từ điểm \( M \) xuống hai tia \( AB \) và \( AC \) tương ứng.

2. **Tham số độ dài**:
- Gọi \( AH = x \) và \( AK = y \). Vì \( AB < AC \) nên có \( x < y \).
- Gọi \( MB \) và \( MK \) lần lượt là các độ dài từ \( M \) đến \( B \) và \( C \).

3. **So sánh các góc**:
- Từ tính chất của tia phân giác, ta có \( \angle BAM = \angle CAM \).
- Các góc \( \angle AMB \) và \( \angle CMK \) là các góc vuông, do đó \( \triangle AMB \) và \( \triangle MCK \) có cùng một góc vuông.

4. **Sử dụng định lý sin**:
- Dựa vào định lý sin trong tam giác, tỷ số các cạnh tương ứng sẽ phụ thuộc vào các góc của tam giác.
- Có được:
\[
\frac{AB}{AC} = \frac{AH}{AK}
\]
Do \( AB < AC \), nên \( \frac{AB}{AC} < 1 \)

5. **Kết luận**:
- Từ các yếu tố trên, chúng ta có thể kết luận rằng:
\[
\frac{MB}{MC} < \frac{MH}{MK}
\]
Điều này cho thấy rằng trong hai tam giác \( \triangle AMB \) và \( \triangle MCK \), tam giác \( \triangle AMB \) có diện tích nhỏ hơn tam giác \( \triangle MCK \).

Tóm lại, ta có kết quả rằng \( \triangle AMB \) nhỏ hơn \( \triangle MCK \) về diện tích, do \( AB < AC \) và cùng chia sẻ các góc chung.