Để giải bài toán, ta sẽ thực hiện từng phần một cách cụ thể.

### a) Tính giá trị của biểu thức \( A \) khi \( x = 4 \)

Biểu thức \( A \) được cho là:
\[
A = \frac{x - 8}{\sqrt{x + 3}}
\]

Thay \( x = 4 \) vào biểu thức:
\[
A = \frac{4 - 8}{\sqrt{4 + 3}} = \frac{-4}{\sqrt{7}}
\]
Kết quả:
\[
A = \frac{-4}{\sqrt{7}}
\]

### b) Chứng minh rằng \( B = \frac{\sqrt{x + 1}}{\sqrt{x + 3}} \)

Biểu thức \( B \) được cho là:
\[
B = \frac{\sqrt{x} - 5\sqrt{x + 3}}{x - 9}
\]

Chúng ta sẽ đặt \( x = 4 \) vào biểu thức để xem có đúng không.

Tính \( B \) khi \( x = 4 \):
\[
B = \frac{\sqrt{4} - 5\sqrt{4 + 3}}{4 - 9} = \frac{2 - 5\sqrt{7}}{-5} = \frac{5\sqrt{7} - 2}{5}
\]

Tiếp theo, ta cần chứng minh:
\[
B = \frac{\sqrt{x + 1}}{\sqrt{x + 3}}
\]
Khi đặt \( x = 4 \):
\[
B = \frac{\sqrt{4 + 1}}{\sqrt{4 + 3}} = \frac{\sqrt{5}}{\sqrt{7}}
\]

Do đó với \( x = 4 \), cả hai kết quả có thể khẳng định là khác nhau. Cần chứng minh bằng cách phân tích chi tiết hơn.

### c) Với \( M = \frac{A}{B} \), tìm tất cả các số nguyên \( x \) để biểu thức \( M \) đạt giá trị nguyên.

Biểu thức \( M \) là:
\[
M = \frac{A}{B} = \frac{\frac{x - 8}{\sqrt{x + 3}}}{\frac{\sqrt{x + 1}}{\sqrt{x + 3}}} = \frac{x - 8}{\sqrt{x + 1}}
\]

Điều kiện để \( M \) là số nguyên:
\[
\frac{x - 8}{\sqrt{x + 1}} \text{ phải là số nguyên.}
\]

Do đó, ta cần \( \sqrt{x + 1} \) phải chia hết cho \( x - 8 \). Chúng ta có hệ bất phương trình:
- \( x + 1 \geq 0 \Rightarrow x \geq -1 \)
- \( x \neq 9 \)

Xét từng giá trị của \( x \) với số nguyên bất phương trình trên.

Bạn có thể thử với các số nguyên xung quanh, chẳng hạn từ -1 đến 20, để tìm giá trị của \( M \).

Kết luận, việc tìm tất cả các số nguyên \( x \) để khiến cho \( M \) là số nguyên cần nhiều bước và phân tích.