Để chứng minh hai phần a) và b) trong bài toán, ta sẽ sử dụng một số tính chất của tam giác nội tiếp và tia phân giác.

### a) Chứng minh \( OM \) đi qua trung điểm của đoạn \( BC \):

1. **Tính chất của đường tròn nội tiếp**: Do tam giác \( ABC \) nội tiếp đường tròn \( (O) \), nên \( OA = OB = OC \) (trường hợp đều) và \( \angle OMB = \angle OMC = \frac{1}{2} \angle A \).

2. **Tia phân giác**: Vì \( M \) là điểm trên tia phân giác của góc \( A \), ta có \( AM \) chia \( \angle BAC \) thành hai góc bằng nhau.

3. **Đoạn thẳng \( OM \)**: Theo tính chất của tia phân giác, khi nó cắt đường tròn tại \( M \), \( OM \) sẽ đi qua trung điểm \( D \) của đoạn thẳng \( BC \) vì:\[
\angle OMB = \angle OMC
\]
tức là \( OM \) ngoài việc là tia phân giác còn đi qua một điểm thuộc đoạn \( BC \).

### b) Chứng minh \( AM \) là tia phân giác của góc \( OAH \):

1. **Xét tam giác \( AOH \)**: Vì \( H \) là chân đường cao từ \( A \) tới \( BC \), \( AH \perp BC \).

2. **Sử dụng tính chất góc**:
- Ta có \( \angle OAH = 90^\circ - \angle A \) và \( \angle OHA = 90^\circ \).

3. **Tính chất của tia phân giác**:
- Tia \( AM \) chia góc \( OAH \) thành hai góc bằng nhau và do đó, \( AM \) là tia phân giác của góc \( OAH \).

Từ những lập luận trên, ta thấy rằng cả hai phần a) và b) đều được chứng minh theo các tính chất cơ bản của hình học trong tam giác và đường tròn nội tiếp.