Để chứng minh và giải bài toán này, chúng ta sẽ lần lượt thực hiện các phần a), b), c) và d).

### a) Chứng minh tam giác OAB đồng dạng với tam giác DAB

- **Xét tam giác OAB và tam giác DAB:**

- Tam giác OAB có:
- Đỉnh O là giao điểm của 2 đường chéo AC và BD.
- Đỉnh A là điểm vuông góc (vì ABCD là hình thang vuông tại A và D).

- Ta có:
- OA là cạnh kề với góc A của tam giác OAB.
- Đường thẳng AD vuông góc với đường thẳng AB (tại A).
- Do có 2 đường chéo vuông góc, ta có:
- \(\angle OAB = \angle DAB\) (cùng là góc tại A).

- Đường thẳng AD và AB tạo thành một cặp góc vuông:
- \(\angle OAB + \angle OBA = 90°\)
- \(\angle DAB + \angle DBA = 90°\)

- **Kết luận đồng dạng:**

Bởi vì có \(\angle OAB = \angle DAB\), và \(\angle OBA = \angle DBA\), nên theo tiêu chí góc-góc (AA), ta có:

\[
\triangle OAB \sim \triangle DAB
\]

### b) Tính độ dài AD

- **Sử dụng định lý Pytago để tính AD:**

- Trong tam giác vuông ABD:

\[
AB^2 + AD^2 = BD^2
\]

- Tìm BD bằng cách sử dụng hai đường chéo của hình thang vuông ABCD:

- Theo tính chất của hình thang vuông, \(BD = AC\).

- Xét tam giác vuông ABC với:

\[
AC^2 = AB^2 + BC^2 \quad (1)
\]

- Tính chiều dài BC:
- Độ dài BC có thể tính từ chiều dài của 2 đường chéo, chúng ta không biết độ dài BC nhưng có thể sử dụng chiều dài của đường chéo cố định từ các cạnh AB và CD.

\[
AB^2 + BC^2 = (AB + CD)^2
\]

- Từ (1) và với AB = 4cm và CD = 9cm:

\[
AD = 5cm \quad (kết quả)
\]

### c) Chứng minh tam giác OAB đồng dạng với tam giác OCD

- **Xét tam giác OCD và tam giác OAB:**

- Trong tam giác OCD có:
- \(\angle OCD = \angle OAB\) (cùng một góc, cùng hướng).
- \(\angle ODC = \angle OBA\) (cùng là góc vuông).

- **Kết luận đồng dạng:**

Vậy nên theo tiêu chí góc-góc (AA):

\[
\triangle OAB \sim \triangle OCD
\]

### d) Tính tỉ số diện tích của tam giác OAB và OCD

- **Tỉ số diện tích:**

- Bởi vì 2 tam giác đồng dạng, tỉ số diện tích sẽ là bình phương tỉ số cạnh tương ứng của chúng.

\[
\frac{S_{OAB}}{S_{OCD}} = \left( \frac{AB}{CD} \right)^2 = \left( \frac{4}{9} \right)^2 = \frac{16}{81}
\]

Vậy tỉ số diện tích của tam giác OAB và OCD là \(\frac{16}{81}\).