Để giải bài toán \( 2xy + y + 2 = 6 \), trước tiên ta sẽ biến đổi phương trình này.

Ta có:

\[
2xy + y + 2 = 6
\]

Chuyển mọi thứ về một phía:

\[
2xy + y + 2 - 6 = 0 \implies 2xy + y - 4 = 0
\]

Giờ ta có thể nhóm lại:

\[
y(2x + 1) - 4 = 0
\]

Giải phương trình này ta được:

\[
y(2x + 1) = 4 \implies y = \frac{4}{2x + 1}
\]

Để \( y \) là số tự nhiên, \( 2x + 1 \) phải là ước của 4. Các ước của 4 là 1, 2, và 4. Bây giờ ta sẽ tìm \( x \) tương ứng với từng giá trị của \( 2x + 1 \).

1. **Khi \( 2x + 1 = 1 \)**:
\[
2x = 0 \implies x = 0
\]
\[
y = \frac{4}{1} = 4 \implies (x, y) = (0, 4)
\]

2. **Khi \( 2x + 1 = 2 \)**:
\[
2x = 1 \implies x = \frac{1}{2} \text{ (không phải là số tự nhiên)}
\]

3. **Khi \( 2x + 1 = 4 \)**:
\[
2x = 3 \implies x = \frac{3}{2} \text{ (không phải là số tự nhiên)}
\]

Vậy chỉ có một cặp \( (x, y) = (0, 4) \) thoả mãn điều kiện.

Do đó, hệ số tự nhiên \( x, y \) là \( (0, 4) \).