Để chứng minh các bất đẳng thức trong bài này, ta sẽ sử dụng các giả thiết đã cho là \( a < b \) trong phần 14 và \( a > b \) trong phần 15.

### Bài 14: Cho \( a < b \). Chứng minh rằng:

1) \( 2a + 1 < 2b + 2 \)

- Bằng cách nhân cả hai vế của bất đẳng thức \( a < b \) với 2, ta có:
\[
2a < 2b
\]
- Thêm 1 vào cả hai vế:
\[
2a + 1 < 2b + 1
\]
- Cuối cùng, thêm 1:
\[
2a + 1 < 2b + 2
\]

---

2) \( -2a - 5 > -2b - 7 \)

- Nhân cả hai vế của bất đẳng thức \( a < b \) với -2 (lưu ý đổi chiều bất đẳng thức):
\[
-2a > -2b
\]
- Thêm 5 vào cả hai vế:
\[
-2a + 5 > -2b + 5
\]
- Thêm 2 vào cả hai vế (lưu ý đến dấu):
\[
-2a - 5 > -2b - 7
\]

---

3) \( 4a + 2 < 4b + 3 \)

- Nhân cả hai vế của bất đẳng thức \( a < b \) với 4:
\[
4a < 4b
\]
- Thêm 2 vào cả hai vế:
\[
4a + 2 < 4b + 2
\]
- Cuối cùng, thêm 1:
\[
4a + 2 < 4b + 3
\]

---

### Bài 15: Cho \( a > b \). Chứng minh rằng:

1) \( 1 - 3a < -1 - 3b \)

- Nhân cả hai vế của bất đẳng thức \( a > b \) với -3 (lưu ý đổi chiều bất đẳng thức):
\[
-3a < -3b
\]
- Thêm 1 vào cả hai vế:
\[
1 - 3a < 1 - 3b
\]
- Thêm -1 vào cả hai vế:
\[
1 - 3a < -1 - 3b
\]

---

2) \( 6a - 5 > 5 + 6b \)

- Nhân cả hai vế của bất đẳng thức \( a > b \) với 6:
\[
6a > 6b
\]
- Thêm -5 vào cả hai vế:
\[
6a - 5 > 6b - 5
\]

---

3) \( -3a - 4 < -3b - 4 \)

- Nhân cả hai vế của bất đẳng thức \( a > b \) với -3 (lưu ý đổi chiều bất đẳng thức):
\[
-3a < -3b
\]
- Thêm -4 vào cả hai vế:
\[
-3a - 4 < -3b - 4
\]

---

Các bất đẳng thức còn lại có thể được chứng minh tương tự bằng cách sử dụng các phép toán cộng, trừ hoặc nhân với số dương, số âm kết hợp với việc đổi chiều bất đẳng thức khi nhân với số âm.