Giải phương trình

Để giải phương trình

\[
|x^2 + |x - 1|| = \frac{x^2}{2}
\]

ta cần phân tích thành các trường hợp dựa vào giá trị của \(x\).

1. **Trường hợp 1:** \(x \geq 1\)

Khi đó \( |x - 1| = x - 1 \) và

\[
|x^2 + |x - 1|| = |x^2 + (x - 1)| = |x^2 + x - 1| = x^2 + x - 1
\]

Phương trình trở thành:

\[
x^2 + x - 1 = \frac{x^2}{2}
\]

Giải phương trình:

\[
2(x^2 + x - 1) = x^2 \Rightarrow 2x^2 + 2x - 2 = x^2 \Rightarrow x^2 + 2x - 2 = 0
\]

Áp dụng công thức nghiệm:

\[
x = \frac{-2 \pm \sqrt{4 + 8}}{2} = \frac{-2 \pm \sqrt{12}}{2} = \frac{-2 \pm 2\sqrt{3}}{2} = -1 \pm \sqrt{3}
\]

Xét nghiệm:

- \(x_1 = -1 + \sqrt{3} \approx 0.73\) (không thỏa mãn điều kiện \(x \geq 1\))
- \(x_2 = -1 - \sqrt{3}\) (không thỏa mãn vì nó âm)

2. **Trường hợp 2:** \(0 \leq x < 1\)

Khi đó \( |x - 1| = 1 - x \), và

\[
|x^2 + |x - 1|| = |x^2 + (1 - x)| = |x^2 - x + 1| = x^2 - x + 1
\]

Phương trình trở thành:

\[
x^2 - x + 1 = \frac{x^2}{2}
\]

Giải phương trình:

\[
2(x^2 - x + 1) = x^2 \Rightarrow 2x^2 - 2x + 2 = x^2 \Rightarrow x^2 - 2x + 2 = 0
\]

Tính discriminant:

\[
\Delta = (-2)^2 - 4(1)(2) = 4 - 8 = -4 \text{ (không có nghiệm thực)}
\]

3. **Trường hợp 3:** \(x < 0\)

Khi đó \( |x - 1| = 1 - x \), và

\[
|x^2 + |x - 1|| = |x^2 + (1 - x)| = x^2 - x + 1
\]

Phương trình trở thành:

\[
x^2 - x + 1 = \frac{x^2}{2}
\]

Giải phương trình như trong trường hợp 2, ta cũng nhận được:

\[
x^2 - 2x + 2 = 0 \text{ (không có nghiệm thực)}
\]

Qua cả ba trường hợp, ta xác định rằng phương trình không có nghiệm thực.