Để xác định khẳng định nào là sai, chúng ta cần xem xét các diện tích của các hình trong câu hỏi.

1. **A. Diện tích ABCD bằng diện tích ABCD**: Khẳng định này là đúng vì diện tích của hình chữ nhật ABCD sẽ bằng chính nó.

2. **B. Diện tích ABCF bằng một nửa diện tích AEFD**: Hình AEFD là hình bình hành, nên diện tích của nó là lớn hơn so với diện tích của ABCF.

3. **C. Diện tích ABCF bằng một phần ba diện tích AEFD**: Khẳng định này cũng có thể đúng tùy vào cách chia, nhưng thường diện tích ABCF sẽ không phải là một phần ba của diện tích AEFD.

4. **D. Diện tích ABCF bằng diện tích của BEFC**: Hai vùng này có thể thỏa mãn điều kiện này tuỳ vào cách chia.

Tóm lại, khẳng định **B** hoặc **C** có thể là sai. Tuy nhiên, trong các bài toán như thế này, thông thường diện tích mối quan hệ giữa các hình với nhau sẽ cần được tính cụ thể để có kết luận chính xác hơn. Nếu phải chọn một khẳng định sai, **B** hoặc **C** có khả năng cao nhất.