Để chứng minh đẳng thức \((x-y)(x^3 + x^2y + xy^2 + y^3) = x^4 - y^4\), ta có thể sử dụng quy tắc phân phối và kiến thức về đa thức.

**Bước 1:** Nhân hai vế bên trái

Ta sẽ nhân \( (x-y) \) với từng hạng tử trong biểu thức \( x^3 + x^2y + xy^2 + y^3 \):
\[
(x-y)(x^3 + x^2y + xy^2 + y^3) = x(x^3 + x^2y + xy^2 + y^3) - y(x^3 + x^2y + xy^2 + y^3)
\]

**Bước 2:** Tính toán từng phần

- Đầu tiên, nhân \( x \):
\[
x(x^3) + x(x^2y) + x(xy^2) + x(y^3) = x^4 + x^3y + x^2y^2 + xy^3
\]

- Sau đó, nhân \( -y \):
\[
-y(x^3) - y(x^2y) - y(xy^2) - y(y^3) = -yx^3 - y^2x^2 - y^3x - y^4
\]

**Bước 3:** Tổng hợp các hạng tử

Kết hợp lại, ta sẽ có:
\[
x^4 + (x^3y - yx^3) + (x^2y^2 - y^2x^2) + (xy^3 - y^3x) - y^4
\]
Nhìn vào các hạng tử như \( (x^3y - yx^3) \), ta thấy nó bằng 0 vì chúng đối nhau, v.v. Cuối cùng chúng ta sẽ có:
\[
x^4 - y^4
\]

**Kết luận:** Chúng ta đã chứng minh được rằng:
\[
(x-y)(x^3 + x^2y + xy^2 + y^3) = x^4 - y^4
\]

---

Để chứng minh đẳng thức thứ hai \((x+y)(x^4 - x^3y + x^2y^2 - xy^3 + y^4) = x^5 + y^5\), ta cũng tiến hành tương tự.

**Bước 1:** Nhân hai vế bên trái

Ta nhân \( (x+y) \) với từng hạng tử trong \( x^4 - x^3y + x^2y^2 - xy^3 + y^4 \):
\[
(x+y)(x^4 - x^3y + x^2y^2 - xy^3 + y^4) = x(x^4 - x^3y + x^2y^2 - xy^3 + y^4) + y(x^4 - x^3y + x^2y^2 - xy^3 + y^4)
\]

**Bước 2:** Tính toán từng phần

- Nhân \( x \):
\[
x^5 - x^4y + x^3y^2 - x^2y^3 + xy^4
\]

- Nhân \( y \):
\[
yx^4 - yx^3y + yx^2y^2 - y^2x^3 + y^5
\]

**Bước 3:** Tổng hợp lại

Kết hợp lại, ta sẽ có:
\[
x^5 + y^5 + (x^4y - yx^4) + (x^3y^2 - xy^3) + (xy^4 - y^2x^3)
\]
Như vậy, các hạng tử sẽ triệt tiêu nhau:

**Kết luận:** Ta có thể hiện lại:
\[
(x+y)(x^4 - x^3y + x^2y^2 - xy^3 + y^4) = x^5 + y^5
\]

Vậy ta đã chứng minh xong hai đẳng thức trên.