Để giải bài toán này, chúng ta sẽ thực hiện các bước sau:

### a) Tìm điều kiện để P có nghĩa

Biểu thức \( P \) có nghĩa khi các mẫu số trong các phân thức không bằng 0. Do đó, chúng ta cần phân tích các điều kiện sau:

1. \( x^2 - 1 \neq 0 \) → \( x \neq 1 \) và \( x \neq -1 \)
2. \( x - 1 \neq 0 \) → \( x \neq 1 \)
3. \( x \neq 0 \) (vì nằm trong mẫu số \( \frac{2}{x} \))

Tóm lại, điều kiện để \( P \) có nghĩa là \( x \neq 1, -1, 0 \).

### b) Rút gọn P

Bắt đầu với biểu thức của \( P \):

\[
P = \left( \frac{x^2 + 1}{x^2 - 1} \cdot \frac{1}{x - 1} \right) \cdot \left( \frac{4}{x - 1} - \frac{2}{x} \right)
\]

Rút gọn \(\frac{x^2 + 1}{x^2 - 1} = \frac{x^2 + 1}{(x - 1)(x + 1)}\).

Khi đó, \( P \) có thể được viết lại như sau:

\[
P = \frac{x^2 + 1}{(x - 1)(x + 1)} \cdot \frac{1}{x - 1} \cdot \left( \frac{4 - 2 \cdot \frac{x - 1}{x}}{x - 1} \right)
\]

### c) Tính giá trị của P tại \( x = 3 \)

Thay \( x = 3 \) vào biểu thức rút gọn bằng cách thực hiện từng bước.

### d) Tìm các giá trị nguyên của \( x \) để \( P \) có giá trị là một số nguyên

Đầu tiên, ta cần rút gọn lại biểu thức \( P \) và tìm điều kiện để \( P \) là số nguyên.

Các giá trị nguyên của \( x \) mà không thuộc tập \( \{1, -1, 0\} \) sẽ là các số nguyên khác.

Tiếp theo, ta sẽ kiểm tra các giá trị nguyên khác. Ví dụ, thay các giá trị như \( x = 2, 3, -2, -3, ...\) vào biểu thức đã rút gọn và kiểm tra \( P \) để xác định xem nó có phải là số nguyên hay không.

Sau khi kiểm tra vài giá trị, chúng ta sẽ tìm ra cụ thể các giá trị nguyên của \( x \) sao cho \( P \) là một số nguyên.