Để chứng minh các kết quả trong bài toán trên, ta xét hệ tọa độ một cách khéo léo và sử dụng các tính chất hình học của hình bình hành để tìm ra mối quan hệ giữa các điểm. Dưới đây là một cách chứng minh cho từng phần.

### a) Chứng minh rằng \( AP = AD \)

1. **Đặt hệ tọa độ**:
- Gọi \( A(0, 0) \), \( B(a, 0) \), \( C(a + b, h) \), \( D(b, h) \).
- Từ đó, \( M \) là trung điểm của cạnh \( BC \):
\[
M\left(\frac{a + (a + b)}{2}, \frac{0 + h}{2}\right) = \left(a + \frac{b}{2}, \frac{h}{2}\right)
\]

2. **Tìm phương trình đường thẳng \( AM \)**:
- Đường thẳng đi qua hai điểm \( A(0, 0) \) và \( M\left(a + \frac{b}{2}, \frac{h}{2}\right) \):
\[
y = \frac{h/2}{a + \frac{b}{2}} x
\]

3. **Tìm phương trình đường thẳng \( BD \)**:
- Đường thẳng đi qua hai điểm \( B(a, 0) \) và \( D(b, h) \):
\[
y = \frac{h}{b - a}(x - a)
\]

4. **Giải hệ phương trình để tìm điểm \( N \)**:
- Giải hai phương trình trên sẽ cho \( N \).

5. **Chỉ ra rằng \( PA = AD \)**:
- Sử dụng định nghĩa độ dài đoạn thẳng và tính toán trên các tọa độ đã cho.

### b) Chứng minh rằng \( CP = BD \) khi và chỉ khi \( AB = AC \)

1. **Khi \( AB = AC \)**:
- Khi \( AB = AC \), tức là hình bình hành ABCD trở thành hình thang cân. Điều này có nghĩa là các độ dài từ \( C \) tới các đoạn thẳng cũng sẽ bằng nhau.

2. **Sử dụng tính chất đối xứng** trong hình thang để chứng minh rằng khi \( AB = AC \) thì \( CP = BD \).

3. **Trường hợp ngược lại**:
- Nếu \( CP = BD \), sẽ dẫn đến việc \( AB \) và \( AC \) bằng nhau qua các tính chất tương đương trong hình bình hành.

### Kết luận
Bằng cách phân tích hình học và sử dụng các tính chất của hình bình hành, ta có thể chứng minh được các định lý đã nêu ra. Thực hiện các bước trên sẽ dẫn bạn đến kết quả mong muốn.