Để giải bài toán liên quan đến số lượng tia chung gốc tạo ra các góc, ta sử dụng công thức sau:

Khi có \( m \) tia chung gốc, số góc tạo thành sẽ được tính bằng công thức:

\[
S = \frac{m(m-1)}{2}
\]

### Phần 10:
**Vẽ \( m \) tia chung gốc, chúng tạo ra 45 góc. Tìm giá trị của \( m \).**

Ta có:

\[
\frac{m(m-1)}{2} = 45
\]

Nhân hai vế với 2:

\[
m(m-1) = 90
\]

Giải phương trình bậc hai:

\[
m^2 - m - 90 = 0
\]

Tính delta:

\[
\Delta = b^2 - 4ac = (-1)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-90) = 1 + 360 = 361
\]

Tìm nghiệm:

\[
m = \frac{-b \pm \sqrt{\Delta}}{2a} = \frac{1 \pm 19}{2}
\]

Ta có hai nghiệm:

\[
m_1 = \frac{20}{2} = 10 \quad \text{và} \quad m_2 = \frac{-18}{2} = -9
\]

Vì \( m \) phải lớn hơn 0, ta chọn \( m = 10 \).

### Vậy giá trị của \( m \) là 10.

### Phần 11:
**Vẽ \( m \) tia chung gốc, chúng tạo ra 190 góc. Tìm giá trị của \( m \).**

Áp dụng tương tự:

\[
\frac{m(m-1)}{2} = 190
\]

Nhân hai vế với 2:

\[
m(m-1) = 380
\]

Giải phương trình bậc hai:

\[
m^2 - m - 380 = 0
\]

Tính delta:

\[
\Delta = 1 + 1520 = 1521
\]

Tìm nghiệm:

\[
m = \frac{1 \pm \sqrt{1521}}{2}
\]

Ta có \( \sqrt{1521} = 39 \):

\[
m_1 = \frac{40}{2} = 20 \quad \text{và} \quad m_2 = \frac{-38}{2} = -19
\]

Chọn \( m = 20 \).

### Vậy giá trị của \( m \) là 20.

### Phần 12:
**Vẽ \( n \) tia chung gốc, chúng tạo ra 1275 góc. Tìm giá trị của \( n \).**

Áp dụng công thức:

\[
\frac{n(n-1)}{2} = 1275
\]

Nhân hai vế với 2:

\[
n(n-1) = 2550
\]

Giải phương trình bậc hai:

\[
n^2 - n - 2550 = 0
\]

Tính delta:

\[
\Delta = 1 + 10200 = 10201
\]

Tìm nghiệm:

\[
n = \frac{1 \pm \sqrt{10201}}{2}
\]

Ta có \( \sqrt{10201} = 101 \):

\[
n_1 = \frac{102}{2} = 51 \quad \text{và} \quad n_2 = \frac{-100}{2} = -50
\]

Chọn \( n = 51 \).

### Vậy giá trị của \( n \) là 51.

### Các phần còn lại (Phần 13 và 14):
Phần 13 và 14 yêu cầu về số lượng tia và số góc tăng hoặc giảm. Cách làm sẽ tương tự dựa trên số lượng tia mới và số góc mới tính ra bằng \( \frac{m(m-1)}{2} \) cho số tia mà bạn có.

Nếu bạn cần thêm thông tin hoặc giải thích cụ thể cho phần 13 và 14, hãy cho tôi biết!