Giải hệ phương trình

Để giải hệ phương trình sau:

\[
\begin{cases}
\frac{2x + 6y + 5}{x + 1} = 9 \\
\frac{9y - 2}{x + 1} = 4 - 3x
\end{cases}
\]

Bước 1: Giải phương trình thứ nhất.

Từ phương trình thứ nhất:

\[
\frac{2x + 6y + 5}{x + 1} = 9
\]

Nhân cả hai vế với \(x + 1\) (giả sử \(x + 1 \neq 0\)):

\[
2x + 6y + 5 = 9(x + 1)
\]

Mở rộng bên phải:

\[
2x + 6y + 5 = 9x + 9
\]

Chuyển tất cả các hạng tử về một phía:

\[
2x + 6y + 5 - 9x - 9 = 0
\]

Sắp xếp lại:

\[
-7x + 6y - 4 = 0 \quad \Rightarrow \quad 6y = 7x + 4 \quad \Rightarrow \quad y = \frac{7}{6}x + \frac{2}{3}
\]

Bước 2: Thay \(y\) vào phương trình thứ hai.

Từ phương trình thứ hai:

\[
\frac{9y - 2}{x + 1} = 4 - 3x
\]

Thay \(y\) vào:

\[
y = \frac{7}{6}x + \frac{2}{3}
\]

Thay vào phương trình:

\[
\frac{9\left(\frac{7}{6}x + \frac{2}{3}\right) - 2}{x + 1} = 4 - 3x
\]

Tính bên trái:

\[
\frac{\frac{63}{6}x + 6 - 2}{x + 1} = \frac{\frac{63}{6}x + 4}{x + 1}
\]

Chuyển tiếp về:

Nhân cả hai vế với \(x + 1\):

\[
\frac{63}{6}x + 4 = (4 - 3x)(x + 1)
\]

Mở rộng bên phải:

\[
(4 - 3x)(x + 1) = 4x + 4 - 3x^2 - 3x
\]

Sắp xếp lại:

\[
-3x^2 + x + 4
\]

Rút điều là:

\[
\frac{63}{6}x + 4 = -3x^2 + x + 4
\]

Bước 3: Phương trình:

Chuyển hết về một bên:

\[
3x^2 + \left(\frac{63}{6} - 1\right)x = 0
\]

Rút gọn:

\[
3x^2 + \left(\frac{63 - 6}{6}\right)x = 0
\]

Số hạng còn lại:

\[
3x^2 + \frac{57}{6}x = 0
\]

Phương trình dễ dàng hơn:

\[
3x(x + \frac{19}{6}) = 0
\]

Bước 4: Tính nghiệm.

Có hai nghiệm:

1. \(x = 0\)
2. \(x = -\frac{19}{6}\)

Bước 5: Tính \(y\) tương ứng.

- Khi \(x = 0\):
\[
y = \frac{7}{6}(0) + \frac{2}{3} = \frac{2}{3}
\]

- Khi \(x = -\frac{19}{6}\):
\[
y = \frac{7}{6}\left(-\frac{19}{6}\right) + \frac{2}{3} = -\frac{133}{36} + \frac{24}{36} = -\frac{109}{36}
\]

Vậy nghiệm của hệ phương trình là:

\[
(x, y) = (0, \frac{2}{3}) \text{ và } (x, y) = \left(-\frac{19}{6}, -\frac{109}{36}\right)
\]