Để tìm giá trị của \( m \) sao cho đồ thị hàm số \( y = 2x^3 + mx^2 - 12x - 13 \) có hai điểm cực trị cách đều trục tung, ta bắt đầu bằng cách tìm đạo hàm của hàm số:

\[
y' = \frac{dy}{dx} = 6x^2 + 2mx - 12.
\]

Hai điểm cực trị của hàm số xảy ra khi \( y' = 0 \). Ta có phương trình bậc 2:

\[
6x^2 + 2mx - 12 = 0.
\]

Chia phương trình cho 2 để đơn giản hóa:

\[
3x^2 + mx - 6 = 0.
\]

Để phương trình này có hai nghiệm (điểm cực trị khác nhau), điều kiện cần thiết là discriminant (\( \Delta \)) phải lớn hơn 0:

\[
\Delta = m^2 - 4 \cdot 3 \cdot (-6) = m^2 + 72 > 0.
\]

Điều này luôn đúng với mọi giá trị của \( m \) vì \( m^2 \geq 0 \) và \( 72 > 0 \).

Sau đó, để hai điểm cực trị cách đều trục tung, hai nghiệm \( x_1 \) và \( x_2 \) của phương trình cần thoả mãn:

\[
|x_1| = |x_2|.
\]

Điều này có nghĩa là \( x_1 + x_2 = 0 \), hay \( x_1 = -x_2 \).

Theo định lý Viète, tổng của các nghiệm là:

\[
x_1 + x_2 = -\frac{m}{3}.
\]

Để \( x_1 + x_2 = 0 \), ta cần:

\[
-\frac{m}{3} = 0 \implies m = 0.
\]

Như vậy, giá trị của \( m \) để đồ thị hàm số có hai điểm cực trị cách đều trục tung là:

\[
\boxed{0}.
\]