Để giải bài toán, chúng ta sẽ lần lượt chứng minh các yêu cầu một cách chi tiết.

### a) Chứng minh BHCK là hình bình hành

1. **Giả thiết**: Trong tam giác ABC, các đường cao BD và CE cắt nhau tại điểm H. M là trung điểm của BC. Ta kẻ đường thẳng BH vuông góc với AB và đường thẳng CK vuông góc với AC.

2. Từ giả thiết trên, ta có:
- BH vuông góc với AB (giả thiết).
- CK vuông góc với AC (giả thiết).

3. **Chứng minh 2 cặp cạnh đối diện bằng nhau**:
- Do H là điểm trên đoạn BC (chỗ cắt của đường cao), nên MH = MB = MC. Vì M là trung điểm của BC.
- BH = CK (cả hai là cạnh vuông góc từ các đỉnh B và C đến các cạnh bên tương ứng AB và AC, và BH || CK).

4. **Kết luận**:
- 2 cặp cạnh đối diện (BH, CK) và (BC, MH) đều bằng nhau. Do đó, tứ giác BHCK là hình bình hành.

### b) Chứng minh H, M, K thẳng hàng

1. Từ B và C, ta kẻ hai đường vuông góc với AB và AC lần lượt tại H và K.

2. M là trung điểm của BC, và do ta đã biết BH = CK.

3. **Chứng minh H, M, K thẳng hàng**:
- Gọi N là giao điểm của đường thẳng BK và đường thẳng CK. Theo tính chất hình bình hành, K phải nằm trên đường thẳng thông qua M và H.
- Vì vậy, M là trung điểm, nên H, M, K thẳng hàng.

### c) Chứng minh BIKC là hình thang cân

1. Ta có Hg là đường vuông góc với BC (giả định).
2. Lấy điểm I trên tia HG sao cho HG = GI.

3. **Chứng minh BIKC là hình thang cân**:
- Vì HG = GI, nên HI là phân giác của góc BHC.
- Do BD và CE là các đường cao của tam giác ABC nên góc BHC = 90 độ.
- Từ đó, suy ra BIKC với B và C là hai đáy, và KH || BC.

4. Kết luận: Với HI = GI và các đặc điểm về góc, ta có tứ giác BIKC là hình thang cân.

Hy vọng lời giải trên có thể giúp bạn hiểu rõ khái niệm và cách chứng minh các tiên đề trong hình học.