Để biểu thức \( P \) có nghĩa, ta cần tìm điều kiện cho các thành phần trong biểu thức. Xét từng phần trong biểu thức \( P \):

1. **Điều kiện cho các mẫu số**:
- \( x + \sqrt{x} - 2 \neq 0 \): Cần tìm \( x \) sao cho bất phương trình này có nghĩa.
- \( \sqrt{x} - 1 \neq 0 \) tức là \( x \neq 1 \).
- \( x - 1 \neq 0 \) tức là \( x \neq 1 \) (điều này đã được lập lại).

2. **Điều kiện cho căn bậc hai**:
- \( x \geq 0 \) (để đảm bảo giá trị trong căn bậc hai là không âm).
- \( x - 1 \geq 0 \) đưa ra điều kiện \( x \geq 1 \).

Từ các điều kiện trên, ta có:
- \( x + \sqrt{x} - 2 \neq 0 \) ⇒ giải bất phương trình này để tìm các giá trị bị loại.
- Kết hợp tất cả lại:
- Điều kiện cần có: \( x \geq 1 \) và \( x \neq 1 \) nghĩa là \( x > 1 \).
- Xét \( x + \sqrt{x} - 2 \):
- Giải: \( x + \sqrt{x} - 2 = 0 \Rightarrow \sqrt{x} = 2 - x \)
- Tính được (sau khi bình phương cả hai) giá trị của \( x \).

### Kết luận:
Tìm giá trị của \( x \) phải thỏa mãn \( x > 1 \) và không bằng các giá trị làm cho mẫu số bằng 0.

---

### b) Tìm các số tự nhiên \( x \) để \( \frac{1}{P} \) là số tự nhiên:

Xét điều kiện của \( P \) và tiến hành đơn giản hóa, từ đó tìm điều kiện cho số tử \( x \). Đảm bảo \( P \neq 0 \).

---

### c) Tính giá trị của \( P \) với \( x = 4 - 2\sqrt{3} \):

Thay giá trị \( x = 4 - 2\sqrt{3} \) vào biểu thức \( P \), sau đó thực hiện tính toán và rút gọn. Kiểm tra xem giá trị này có nằm trong điều kiện đã tìm ở phần a. hay không.

Hy vọng những bước này giúp bạn giải quyết bài toán này!