Gọi số cam ban đầu của người nông dân là \( x \) quả.

### Bước 1: Lần thứ nhất
Trong lần bán đầu tiên, người nông dân bán:
- \( \frac{1}{2} x + \frac{1}{2} \) quả.

Số cam còn lại sau lần bán này là:
\[
y_1 = x - \left(\frac{1}{2} x + \frac{1}{2}\right) = \frac{1}{2} x - \frac{1}{2}
\]

### Bước 2: Lần thứ hai
Trong lần bán thứ hai, người nông dân bán:
- \( \frac{1}{3} y_1 + \frac{1}{3} \) quả.

Thay \( y_1 \):
\[
\frac{1}{3} y_1 = \frac{1}{3} \left( \frac{1}{2} x - \frac{1}{2} \right) = \frac{1}{6} x - \frac{1}{6}
\]
Vậy số cam bán trong lần hai là:
\[
\frac{1}{6} x - \frac{1}{6} + \frac{1}{3} = \frac{1}{6} x - \frac{1}{6} + \frac{2}{6} = \frac{1}{6} x + \frac{1}{6}
\]

Số cam còn lại sau lần bán này là:
\[
y_2 = y_1 - \left(\frac{1}{3} y_1 + \frac{1}{3}\right) = \left(\frac{1}{2} x - \frac{1}{2}\right) - \left(\frac{1}{6} x + \frac{1}{6}\right)
\]
Tìm số hạng:
\[
y_2 = \left(\frac{3}{6} x - \frac{3}{6}\right) - \left(\frac{1}{6} x + \frac{1}{6}\right) = \frac{2}{6} x - \frac{4}{6} = \frac{1}{3} x - \frac{2}{3}
\]

### Bước 3: Lần thứ ba
Trong lần bán thứ ba, người nông dân bán:
- \( \frac{1}{4} y_2 + \frac{3}{4} \) quả.

Thay \( y_2 \):
\[
\frac{1}{4} y_2 = \frac{1}{4} \left( \frac{1}{3} x - \frac{2}{3} \right) = \frac{1}{12} x - \frac{1}{6}
\]
Vậy số cam bán trong lần ba là:
\[
\frac{1}{12} x - \frac{1}{6} + \frac{3}{4} = \frac{1}{12} x - \frac{1}{6} + \frac{9}{12} = \frac{1}{12} x + \frac{7}{12}
\]

Số cam còn lại sau lần bán này là:
\[
y_3 = y_2 - \left(\frac{1}{4} y_2 + \frac{3}{4}\right) = \left(\frac{1}{3} x - \frac{2}{3}\right) - \left(\frac{1}{12} x + \frac{7}{12}\right)
\]
Tính toán:
\[
y_3 = \left(\frac{4}{12} x - \frac{8}{12}\right) - \left(\frac{1}{12} x + \frac{7}{12}\right) = \frac{4}{12} x - \frac{8}{12} - \frac{1}{12} x - \frac{7}{12}
\]
\[
= \frac{3}{12} x - \frac{15}{12} = \frac{1}{4} x - \frac{5}{4}
\]

### Bước 4: Số cam còn lại
Ta biết rằng sau tất cả các lần bán, còn lại 24 quả cam, ta có phương trình:
\[
\frac{1}{4} x - \frac{5}{4} = 24
\]

Giải phương trình:
\[
\frac{1}{4} x = 24 + \frac{5}{4}
\]
\[
\frac{1}{4} x = 24 + 1.25 = 25.25
\]
\[
x = 25.25 \times 4 = 101
\]

Vậy số cam đã mang đi bán là:
\[
101 - 24 = 77
\]

**Kết luận:** Số cam đã mang đi bán là 77 quả.