Để chứng minh tỷ lệ thức \( \frac{a_1}{a_2} = \frac{b_1}{b_2} \) dẫn đến các tỷ lệ thức khác, chúng ta có thể sử dụng kiến thức về tỷ lệ thức cơ bản.

Giả sử \( a_1, a_2, b_1, b_2 \) là các đại lượng khác nhau và không bằng 0.

Từ giả thiết \( \frac{a_1}{a_2} = \frac{b_1}{b_2} \), chúng ta có thể viết lại thành:

\[
a_1 \cdot b_2 = b_1 \cdot a_2
\]

Bây giờ, từ phương trình này, chúng ta có thể suy ra các tỷ lệ thức khác như sau:

1. **Tỷ lệ thức chéo**:
- Từ \( a_1 \cdot b_2 = b_1 \cdot a_2 \), ta có thể viết:
\[
\frac{a_1}{b_1} = \frac{a_2}{b_2}
\]

2. **Điện tích bật chéo**:
- Ta có thể sử dụng điều kiện trên để biểu diễn tỷ lệ thức theo các đại lượng khác:
\[
a_1 : a_2 = b_1 : b_2
\]

3. **Thêm các tỷ lệ khác tùy thuộc vào cách kết hợp**:
- Chẳng hạn, nếu \( k = k_2 = k_3 = 1 \) thì:
\[
\frac{a_1 + b_1}{a_2 + b_2} = \frac{a_1}{a_2} + \frac{b_1}{b_2}
\]

Như vậy, từ điều kiện ban đầu, ta có thể chứng minh được các tỷ lệ thức khác nhau nhờ vào tính chất của tỷ lệ thức. Các tỷ lệ thức này là hệ quả trực tiếp của tỷ lệ ban đầu, và chúng có mối quan hệ chặt chẽ với nhau.