Để giải quyết bài toán này, ta sẽ thực hiện từng phần một.

**a. Chứng minh tam giác ABM = tam giác DBM**

- Ta có tam giác ABC vuông tại A. Gọi \(AB = c\), \(AC = b\).
- Tia phân giác của góc B cắt AC tại M. Theo định nghĩa của phân giác, ta có:
\[
\frac{AM}{MC} = \frac{AB}{BC}
\]
- Gọi \(D\) là điểm trên cạnh \(BC\) sao cho \(BD = AB = c\).
- Trong tam giác ABC vuông, ta có:
\[
AB = c, \quad DB = c \quad (theo giả thiết)
\]

- Ta có:
\[\angle ABM = \angle DBM \quad (\text{cùng một góc})\]

- Do \(AM\) và \(DM\) đều là đoạn thẳng nối giữa hai điểm M, và tia phân giác tạo ra góc B, nên điểm M là điểm chia đoạn AC theo tỷ lệ \(AB:BC\).

- Từ đó, theo tiêu chí hai góc và cạnh kề (AAS), kết luận:
\[
\triangle ABM \cong \triangle DBM
\]

**b. So sánh MC và MA**

- Từ sự tương đương tam giác \(ABM\) và \(DBM\), ta có \(AM = DM\).

- Từ đó, ta có:
\[
AM + MC = AC \quad (1)
\]

- Ta cũng biết rằng \(AB = BD\), do đó \(MA = MC\) với đoạn \(AC = AM + MC\). Vậy ta tìm được tỷ lệ giữa \(MA\) và \(MC\).

- Kết luận:
\[
MC = MA
\]

**c. Tứ giác ADCF có hình gì?**

- Gọi \(CD = DB = AB = c\).
- Theo giả thiết, ta có \(AF = CD = c\).

- Do đó, tứ giác \(ADCF\) có các cạnh:
- \(AD = AB\)
- \(CF = AF = CD\)

- Vì \(AF = CD\) và \(AD = AB\), tứ giác \(ADCF\) là hình chữ nhật, do \(AF\) và \(CD\) là các cạnh đối nhau và có độ dài bằng nhau, đồng thời các góc trong tứ giác \(ADCF\) đều vuông góc.

Tóm lại, tứ giác ADCF là hình chữ nhật vì các cặp cạnh đối diện đều bằng nhau và các góc là góc vuông tại các vị trí tương ứng.

**Hình vẽ:**
Ta có thể vẽ một hình với các điểm A, B, C, D, và M như sau:

1. Vẽ tam giác vuông tại A: A, B, C sao cho angle A là góc vuông.
2. Vẽ tia phân giác của angle B cắt AC tại M.
3. Lấy điểm D trên BC sao cho BD = AB.
4. Vẽ điểm F trên tia đối của AB sao cho AF = CD.

Hình vẽ sẽ giúp trực quan hóa ba điểm A, B, C và các điểm M, D, F.