Cho tam giác abc cân tại a. kẻ tia phân giác của góc bac cắt bc tại m

Chúng ta sẽ lần lượt chứng minh các phần a), b) và c) trong bài toán này.

**a)** Xét tam giác ABC cân tại A, nghĩa là AB = AC. Khi kẻ tia phân giác của góc BAC, chúng ta có:

- Do định nghĩa tia phân giác, chúng ta có tỉ lệ giữa độ dài hai đoạn thẳng so với các cạnh đối diện: \(\frac{AB}{AC} = \frac{BM}{MC}\).

Vì AB = AC, nên \(\frac{BM}{MC} = 1\), tức là BM = MC. Do đó, M là trung điểm của đoạn thẳng BC.

=> Hai tam giác ABM và ACM có chung cạnh AM và cạnh BM = MC. Theo tiêu chí cạnh-cạnh-cạnh (CCC), ta có:

\[
\text{Tam giác } ABM \cong \text{tam giác } ACM
\]

Vậy c/m tam giác ABM = tam giác ACM.

**b)** Chúng ta sẽ chứng minh rằng đường thẳng qua M song song với AC cắt AB tại K mà K là trung điểm của AB.

- Gọi đường thẳng qua M song song với AC là l (l || AC).
- Vì M là trung điểm của BC (theo phần a), và l song song với AC, nên l cũng chia đoạn AB thành hai đoạn bằng nhau.
- Từ đó suy ra K là trung điểm của AB (bởi vì AB bị chia thành hai đoạn bằng nhau bởi đường thẳng song song).

=> c/m KA = KM và K là trung điểm của AB.

**c)** Gọi H là giao điểm của AM và CK, BH cắt AC tại E. Cần chứng minh rằng \(AB + BC > 2BE\).

- Bởi vì K là trung điểm của AB và M là trung điểm của BC, nên:
- \(AK = KB\) và \(BM = MC\)

- Xét tam giác ABM và tam giác ACM, theo tính chất của tia phân giác và định nghĩa tỉ lệ, ta có:

\[
\frac{AB}{AC} = \frac{BM}{MC} = 1 \Rightarrow AB = AC.
\]

- Trong tam giác ABE, áp dụng bất đẳng thức tam giác:

\[
AB + AE > BE \quad (1)
\]

- Trong tam giác BCE, ta cũng có:

\[
BC + CE > BE \quad (2)
\]

- Từ (1) và (2), ta cộng lại:

\[
(AB + AE) + (BC + CE) > 2BE
\]

- Nếu đưa tất cả về BE, ta có:

\[
AB + BC + AE + CE > 2BE \Rightarrow AB + BC > 2BE - (AE + CE).
\]

- Do \(AE + CE\) là một đoạn không âm, ta có:

\[
AB + BC > 2BE.
\]

Vậy c/m \(AB + BC > 2BE\).

**Tóm lại:** Các phát biểu trong bài toán đều đã được chứng minh với các bước logic rõ ràng.