Để tìm tất cả các số nguyên \(x\) sao cho giá trị của biểu thức \(x^2 + x + 6\) là một số chính phương, ta tiến hành như sau:

Gọi \(y = x^2 + x + 6\). Chúng ta cần tìm các giá trị nguyên của \(x\) sao cho \(y\) là một số chính phương, nghĩa là tồn tại một số nguyên \(n\) sao cho:

\[
y = n^2
\]

Hay nói cách khác, ta cần giải phương trình:

\[
x^2 + x + (6 - n^2) = 0
\]

Phương trình bậc 2 này có nghiệm thực nếu và chỉ nếu định thức (\(D\)) của nó là không âm. Định thức \(D\) được xác định như sau:

\[
D = b^2 - 4ac = 1^2 - 4 \cdot 1 \cdot (6 - n^2) = 1 - 24 + 4n^2 = 4n^2 - 23
\]

Để phương trình có nghiệm thực, ta cần:

\[
D \geq 0 \implies 4n^2 - 23 \geq 0 \implies 4n^2 \geq 23 \implies n^2 \geq \frac{23}{4} \implies n \geq \lceil \sqrt{\frac{23}{4}} \rceil = 3
\]

Bây giờ, ta sẽ kiểm tra các giá trị nguyên của \(n\) từ \(3\) trở về sau.

1. **Với \(n = 3\)**:
\[
y = 3^2 = 9 \implies x^2 + x - 3 = 0
\]
Tính \(D = 1 + 12 = 13\) (có nghiệm thực nhưng không nguyên).

2. **Với \(n = 4\)**:
\[
y = 4^2 = 16 \implies x^2 + x - 10 = 0
\]
Tính \(D = 1 + 40 = 41\) (có nghiệm \(x = \frac{-1 \pm \sqrt{41}}{2}\) không nguyên).

3. **Với \(n = 5\)**:
\[
y = 5^2 = 25 \implies x^2 + x - 19 = 0
\]
Tính \(D = 1 + 76 = 77\) (có nghiệm \(x = \frac{-1 \pm \sqrt{77}}{2}\) không nguyên).

4. **Với \(n = 6\)**:
\[
y = 6^2 = 36 \implies x^2 + x - 30 = 0
\]
Tính \(D = 1 + 120 = 121\) (có nghiệm \(x = \frac{-1 \pm 11}{2}\)):
- Nghiệm: \(x = 5\) và \(x = -6\) (cả hai đều nguyên).

5. **Với \(n = 7\)**:
\[
y = 7^2 = 49 \implies x^2 + x - 43 = 0
\]
Tính \(D = 1 + 172 = 173\) (có nghiệm không nguyên).

6. **Với \(n = 8\)**:
\[
y = 8^2 = 64 \implies x^2 + x - 58 = 0
\]
Tính \(D = 1 + 232 = 233\) (có nghiệm không nguyên).

Tiếp tục kiểm tra với các giá trị lớn hơn, ta thu được một số điểm tương tự. Tuy nhiên, các giá trị \(x = 5\) và \(x = -6\) là các giá trị nguyên chính xác của biểu thức \(x^2 + x + 6\) để cho giá trị chính phương:

\[
\text{Kết luận: } x = 5 \text{ và } x = -6
\]