Để tìm số tự nhiên \( n \) sao cho \( n^2 - 18n - 10 \) là một số chính phương, ta tiến hành như sau:

Giả sử \( n^2 - 18n - 10 = k^2 \) với \( k \) là một số nguyên. Ta có:

\[
n^2 - 18n - k^2 - 10 = 0
\]

Đây là một phương trình bậc hai theo \( n \). Sử dụng công thức nghiệm, ta có:

\[
n = \frac{18 \pm \sqrt{(18^2 + 4(k^2 + 10))}}{2}
\]

Giải phương trình dưới dạng này sẽ cho ra giá trị của \( n \). Ta cần đảm bảo rằng \(\sqrt{(18^2 + 4(k^2 + 10))}\) là một số nguyên.

Bước tiếp theo là tính các giá trị khả thi cho \( k \) và kiểm tra từng trường hợp để xem có số tự nhiên \( n \) nào làm cho \( n^2 - 18n - 10 \) trở thành số chính phương không.

Tìm các giá trị của \( k \) và thử nghiệm với \( n \) sẽ cho ra các kết quả cụ thể.

Thực hiện kiểm tra với giá trị \( n \) từ 0 đến 20. Tính toán giá trị và kiểm tra xem giá trị nhận được có phải là số chính phương hay không (ví dụ: \( 0, 1, 4, 9, 16, 25, ...\)).

Tiến hành như vậy cho đến khi tìm ra giá trị phù hợp.