Để giải phương trình

\[
2x^2 - 6x - 1 = \sqrt{4x + 5}
\]

bằng phương pháp biến đổi thành tích, ta bắt đầu bằng cách bình phương cả hai vế để loại bỏ dấu căn.

\[
(2x^2 - 6x - 1)^2 = ( \sqrt{4x + 5} )^2
\]

Ta có:

\[
2x^2 - 6x - 1 = \sqrt{4x + 5} \implies (2x^2 - 6x - 1)^2 = 4x + 5
\]

Bình phương vế trái:

\[
(2x^2 - 6x - 1)^2 = 4x^4 - 24x^3 + 44x^2 - 12x + 1
\]

Vế bên phải là:

\[
4x + 5
\]

Khi đưa tất cả về một vế, ta được phương trình:

\[
4x^4 - 24x^3 + 44x^2 - 12x + 1 - 4x - 5 = 0
\]

Kết hợp lại, ta có:

\[
4x^4 - 24x^3 + 44x^2 - 16x - 4 = 0
\]

Chia cả phương trình cho 4:

\[
x^4 - 6x^3 + 11x^2 - 4x - 1 = 0
\]

Tiếp theo, ta thử các nghiệm khả dĩ bằng cách thử các giá trị nguyên. Thực hiện việc thử nghiệm, nếu tìm được nghiệm, ta có thể chia đa thức này cho (x - nghiệm đó) để tìm ra các nghiệm khác.

Sau khi thử và kiểm tra các nghiệm, nếu không tìm thấy nghiệm dễ dàng, ta có thể dùng phương pháp số hoặc công thức nghiệm bậc 4 để tìm nghiệm chính xác hơn.

Khi tìm được toàn bộ nghiệm, hãy nhớ kiểm tra lại từng nghiệm trong phương trình ban đầu để đảm bảo chúng không bị loại do quy trình bình phương.