Để tìm phương trình nghiệm nguyên cho phương trình sau:

\[ x^2 - 3x + 9 = -xy + 2y \]

trước tiên, ta sắp xếp lại phương trình:

\[ x^2 - 3x + xy - 2y + 9 = 0 \]

Từ đây, ta có thể viết lại phương trình theo dạng:

\[ x^2 + (y - 3)x + (9 - 2y) = 0 \]

Để phương trình này có nghiệm nguyên \( x \), thì bậc hai phải có discriminant (định thức) là một số chính phương:

\[ D = (y - 3)^2 - 4(9 - 2y) \]

Tính \( D \):

\[
D = (y - 3)^2 - 36 + 8y
\]
\[
= y^2 - 6y + 9 + 8y - 36
\]
\[
= y^2 + 2y - 27
\]

Giải bất phương trình \( D = k^2 \) với \( k \) là số nguyên để tìm các giá trị của \( y \). Ta có:

\[
y^2 + 2y - 27 - k^2 = 0
\]

Giải phương trình bậc hai này:

\[
y = \frac{-2 \pm \sqrt{(2^2 + 4(27 + k^2))}}{2}
\]

Xét các giá trị của \( k \) để tìm nghiệm nguyên cho \( y \).

Tiếp theo, với các giá trị của \( y \) tìm được, ta có thể thay vào phương trình ban đầu để tìm \( x \).

Tóm lại, để tìm các nghiệm nguyên \( (x, y) \), ta:

1. Tính \( D \)
2. Tìm giá trị nguyên của \( y \) sao cho \( D \) là số chính phương.
3. Thay các giá trị \( y \) trở lại để tìm \( x \).

Tiến hành kiểm tra các giá trị nguyên cho \( k \) và xác định được các cặp giá trị của \( (x, y) \) thỏa mãn yêu cầu.