Để tìm giá trị lớn nhất của biểu thức \( y = \frac{x^2 + 4x + 6}{x^2 + 2x + 3} \), chúng ta bắt đầu bằng cách biến đổi biểu thức này.

Trước tiên, ta phân tích phần tử ở mẫu số và tử số:

- Tử số: \( x^2 + 4x + 6 \)
- Mẫu số: \( x^2 + 2x + 3 \)

Ta có thể viết lại biểu thức:

\[
y = \frac{x^2 + 4x + 6}{x^2 + 2x + 3} = \frac{(x^2 + 2x + 3) + 2x + 3}{x^2 + 2x + 3} = 1 + \frac{2x + 3}{x^2 + 2x + 3}
\]

Giờ đây, để tìm giá trị lớn nhất của \( y \), chúng ta sẽ nghiên cứu phần \( \frac{2x + 3}{x^2 + 2x + 3} \). Gọi

\[
z = \frac{2x + 3}{x^2 + 2x + 3}.
\]

Ta sẽ tìm cực trị của hàm \( z \) bằng cách lấy đạo hàm và tìm nghiệm.

Áp dụng quy tắc đạo hàm thương:

\[
z' = \frac{(x^2 + 2x + 3)(2) - (2x + 3)(2x + 2)}{(x^2 + 2x + 3)^2}.
\]

Tính đạo hàm:

\[
z' = \frac{2(x^2 + 2x + 3) - (2x+3)(2x + 2)}{(x^2 + 2x + 3)^2}.
\]

Giải và đặt tử số bằng 0 để tìm các giá trị \( x \):

\[
2x^2 + 4x + 6 - (4x^2 + 10x + 6) = 0,
\]
\[
-2x^2 - 6x = 0 \implies -2x(x + 3) = 0.
\]

Có các nghiệm là \( x = 0 \) và \( x = -3 \).

Ta cần đánh giá giá trị của \( z \) tại các điểm này cũng như xét giới hạn khi \( x \to \pm \infty \):

1. Tại \( x = 0 \):

\[
y(0) = \frac{0^2 + 4(0) + 6}{0^2 + 2(0) + 3} = \frac{6}{3} = 2.
\]

2. Tại \( x = -3 \):

\[
y(-3) = \frac{(-3)^2 + 4(-3) + 6}{(-3)^2 + 2(-3) + 3} = \frac{9 - 12 + 6}{9 - 6 + 3} = \frac{3}{6} = \frac{1}{2}.
\]

3. Khi \( x \to \pm \infty \):

\[
y \to 1 \quad (\text{bởi vì bậc cao nhất của tử và mẫu số là đều bằng nhau}).
\]

Vậy các giá trị ta đã tính được là:

- \( y(0) = 2 \)
- \( y(-3) = \frac{1}{2} \)
- Giới hạn khi \( x \to \pm \infty \) là 1.

Từ các giá trị này, ta thấy rằng giá trị lớn nhất của biểu thức là

\[
\boxed{2}.
\]