Cho tam giác ABC cân tại A, M thuộc BC; kẻ MD//AB, ME//AC (D thuộc AC ; E thuộc BC) lấy điểm I sao cho DE là trung trực của MY, ID cắt AB tại N. Chứng minh tứ giác AIDE là hình thang cân

Trong bài toán này, chúng ta có tam giác ABC cân tại A, với M thuộc cạnh BC. Ta kẻ hai đường thẳng MD // AB và ME // AC, với điểm D thuộc AC và E thuộc BC. Sau đó, định nghĩa điểm I sao cho DE là trung trực của MY, và ID cắt AB tại N. Chúng ta cần chứng minh rằng tứ giác AIDE là hình thang cân.

### Chứng minh:

1. **Vì tam giác ABC là tam giác cân**:
- Nên \( AB = AC \).
- Mặt khác, do \( M \) thuộc cạnh \( BC \), và các đường kẻ \( MD \) và \( ME \) vuông góc với các cạnh tương ứng, ta có \( MD // AB \) và \( ME // AC \).

2. **Tính chất của đường trung trực**:
- DE là trung trực của MY có nghĩa là \( D \) và \( E \) đều nằm trên đường cao của tam giác M và Y. Do đó, \( DE \) sẽ cắt MY tại trung điểm của MY.

3. **Sử dụng tính chất của hình thang cân**:
- Để chứng minh AIDE là hình thang cân, chúng ta cần chứng minh rằng hai cạnh AIDE đối diện là song song, nghĩa là \( AD // IE \) và \( AI // DE \).

4. **Về các đường thẳng AD và IE**:
- Do \( MD // AB \) và \( ME // AC \), ta có \( AD \) và \( IE \) là các cạnh đấu song song với các đường thẳng này.
- Điều này cho thấy dường thẳng AD song song với đường thẳng IE.

5. **Về các cạnh AI và DE**:
- Vì DE là trung trực của MY, và I nằm trên đường thẳng DE, cho nên AI cũng là cạnh song song với DE.

### Kết luận:
Vì AIDE có hai cặp cạnh đối diện song song \( AD || IE \) và \( AI || DE \) nên tứ giác AIDE là hình thang cân.

Điều này được chứng minh khẳng định rằng tứ giác AIDE là một hình thang cân với AD // IE và AI // DE.