Để chứng minh tứ giác \(BDME\) là hình chữ nhật, ta thực hiện các bước sau:

**a) Chứng minh tứ giác \(BDME\) là hình chữ nhật:**

1. **Tổng quan:** Để chứng minh tứ giác \(BDME\) là hình chữ nhật, cần chứng minh hai cặp cạnh đối diện bằng nhau và các góc vuông.

2. **Cạnh \(BD\) và \(ME\):**
- \(M\) là trung điểm của \(AC\), \(E\) là điểm nằm trên \(BC\).
- \(ME \perp BC\) và \(MD \perp AB\) nên \(ME\) và \(MD\) là đường cao của tam giác vuông \(ABC\).

3. **Góc vuông:**
- \( \angle BME = \angle DME = 90^\circ\).

4. **Cạnh \(BM\) và \(DE\):**
- Tương tự, \(BM = ME\) do \(M\) là trung điểm của \(AC\).

Kết hợp các yếu tố trên, ta có:
- \(BM \perp ME\) và \(MD \perp AB\), do đó \(BDME\) có 4 góc vuông.
- Từ đó, \(BDME\) là hình chữ nhật.

---

**b) Lấy điểm \(F\) thuộc tia đối của \(ME\) sao cho \(MF = ME\):**

- Xác định rằng với \(MF = ME\), điểm \(F\) được xác định trên tia đối với \(ME\), tức là \(EF\) là đường thẳng tiếp tuyến với \(ME\).

---

**c) Chứng minh: \(BE = EC\) và tứ giác \(AFCE\) là hình bình hành:**

1. Trong tam giác vuông \(ABC\):
- Vì \(M\) là trung điểm của \(AC\), nên \(AM = MC\).
- Do đó, \(BE = EC\).

2. Trong tứ giác \(AFCE\):
- Có \(AI = CF\) (từ tính chất của tam giác vuông và đối xứng qua trung điểm).
- Điều này chứng minh \(AFEC\) là hình bình hành vì hai cặp cạnh đối diện bằng nhau.

---

**Kết luận:**
Từ việc chứng minh tứ giác \(BDME\) có 4 góc vuông, và \(BE = EC\) kết hợp với các tính chất tương ứng, ta kết luận rằng \(BDME\) là hình chữ nhật.