Để chứng minh \( EF \parallel BC \), ta sẽ sử dụng tỉ lệ đoạn thẳng và tính chất của đường trung tuyến.

1. **Đường trung tuyến AD** chia tam giác \( ABC \) thành hai tam giác \( ABD \) và \( ACD \) có diện tích bằng nhau.
2. Gọi \( M \) là điểm trên đoạn \( AD \). Khi đó, \( DM \) là một phần của đường trung tuyến, và tồn tại một điểm \( N \) trên tiếp tuyến của \( DM \) sao cho \( DN = DM \).
3. Khi \( BN \) kéo dài sẽ cắt \( AC \) tại \( E \) và \( CM \) cắt \( AB \) tại \( F \).

### Tỉ lệ đoạn thẳng và tỉ lệ diện tích

Do \( D \) là trung điểm của \( BC \), ta có:

\[
\frac{AB}{AC} = \frac{AF}{AE}
\]

### Sử dụng tỉ lệ

Bởi vì \( DM \parallel EF \) và \( N \) được chọn sao cho \( DN = DM \), nên:

\[
\frac{DN}{DM} = 1
\]

Từ đó, \( \triangle DBM \sim \triangle DEF \) (theo tiêu chí giống nhau).

### Kết luận

Do đó, \( \frac{AB}{AC} = \frac{EF}{BC} \), suy ra \( EF \parallel BC \) theo định nghĩa hai đường thẳng song song.

Vậy ta đã chứng minh được \( EF \parallel BC \).