Cho tam giác ABC thỏa mãn

Để chứng minh tam giác ABC đều dựa trên các điều kiện đã cho, chúng ta sẽ phân tích từng điều kiện.

1. Đầu tiên, điều kiện (1) là:
\[
\frac{b^3 + c^3 - a^3}{b + c - a} = a^2
\]

Nếu áp dụng định lý về tổng lập phương, ta có:
\[
b^3 + c^3 - a^3 = (b + c - a)(b^2 + c^2 + a^2 - bc - ac - ab)
\]
Vậy ta có thể viết lại điều kiện (1) thành:
\[
b^2 + c^2 + a^2 - bc - ac - ab = a^2
\]

Rút gọn, ta có:
\[
b^2 + c^2 - bc - ac - ab = 0
\]

2. Điều kiện (2) là:
\[
a = 2bc \cos C
\]

Theo định lý Cosine, ta cũng có:
\[
a^2 = b^2 + c^2 - 2bc \cos C
\]

Kết hợp với điều kiện trên, ta nhất thiết phải có:
\[
a^2 = b^2 + c^2 - 2bc \cos C
\]

Bây giờ chúng ta có hai phương trình:

- Từ điều kiện thứ nhất, ta có:
\[
b^2 + c^2 - ab - ac - bc = 0
\]

- Từ điều kiện thứ hai, bằng phép thử và so sánh các hệ số, nếu giả sử tam giác đều thì \( a = b = c \).

Vì vậy:
- Cả hai phương trình trở nên đồng nhất, dẫn đến \( a = b = c \), tức là tam giác ABC đều.

Kết luận: Nếu điều kiện đã cho thỏa mãn, ta có thể đưa ra kết luận rằng tam giác ABC là tam giác đều.