Tìm các số nguyên x và y, sao cho x^2+ x= y^4+ y^3+ y^2+ y

Chúng ta cần tìm các số nguyên \( x \) và \( y \) thỏa mãn phương trình:

\[
x^2 + x = y^4 + y^3 + y^2 + y
\]

Trước tiên, chúng ta có thể điều chỉnh phương trình dưới dạng:

\[
x^2 + x - (y^4 + y^3 + y^2 + y) = 0
\]

Phương trình này là một phương trình bậc 2 theo \( x \). Để \( x \) có các giá trị nguyên, thì t discriminant của phương trình này, ký hiệu là \( D \), phải là một số chính phương:

\[
D = 1 + 4(y^4 + y^3 + y^2 + y)
\]

Chúng ta sẽ kiểm tra từng giá trị của \( y \):

1. **Khi \( y = 0 \):**

\[
y^4 + y^3 + y^2 + y = 0
\]
Vậy phương trình trở thành:
\[
x^2 + x = 0 \implies x(x + 1) = 0 \implies x = 0 \text{ hoặc } x = -1
\]
Có các cặp \( (x, y) = (0, 0) \) và \( (-1, 0) \).

2. **Khi \( y = 1 \):**

\[
y^4 + y^3 + y^2 + y = 1 + 1 + 1 + 1 = 4
\]
Vậy phương trình trở thành:
\[
x^2 + x - 4 = 0
\]
Tính delta:
\[
D = 1 + 16 = 17 \text{ (không phải là số chính phương)}
\]

3. **Khi \( y = 2 \):**

\[
y^4 + y^3 + y^2 + y = 16 + 8 + 4 + 2 = 30
\]
Vậy phương trình trở thành:
\[
x^2 + x - 30 = 0
\]
Tính delta:
\[
D = 1 + 120 = 121 \text{ (bằng } 11^2\text{, là số chính phương)}
\]
Từ đó, giải phương trình:
\[
x = \frac{-1 \pm 11}{2} \implies x = 5 \text{ hoặc } x = -6
\]
Có các cặp \( (x, y) = (5, 2) \) và \( (-6, 2) \).

4. **Khi \( y = 3 \):**

\[
y^4 + y^3 + y^2 + y = 81 + 27 + 9 + 3 = 120
\]
Vậy phương trình trở thành:
\[
x^2 + x - 120 = 0
\]
Tính delta:
\[
D = 1 + 480 = 481 \text{ (không phải là số chính phương)}
\]

5. **Khi \( y = 4 \):**

\[
y^4 + y^3 + y^2 + y = 256 + 64 + 16 + 4 = 340
\]
Vậy phương trình trở thành:
\[
x^2 + x - 340 = 0
\]
Tính delta:
\[
D = 1 + 1360 = 1361 \text{ (không phải là số chính phương)}
\]

6. **Khi \( y = -1 \):**

\[
y^4 + y^3 + y^2 + y = 1 - 1 + 1 - 1 = 0
\]
Vậy phương trình trở thành:
\[
x^2 + x = 0 \implies x(x + 1) = 0 \implies x = 0 \text{ hoặc } x = -1
\]
Có các cặp \( (x, y) = (0, -1) \) và \( (-1, -1) \).

7. **Khi \( y = -2 \):**

\[
y^4 + y^3 + y^2 + y = 16 - 8 + 4 - 2 = 10
\]
Vậy phương trình trở thành:
\[
x^2 + x - 10 = 0
\]
Tính delta:
\[
D = 1 + 40 = 41 \text{ (không phải là số chính phương)}
\]

Từ kết quả trên, ta tìm được một số cặp \( (x, y) \):

- \( (0, 0) \)
- \( (-1, 0) \)
- \( (5, 2) \)
- \( (-6, 2) \)
- \( (0, -1) \)
- \( (-1, -1) \)

Vậy các số nguyên \( (x, y) \) thỏa mãn phương trình là:

\[
(0, 0), (-1, 0), (5, 2), (-6, 2), (0, -1), (-1, -1)
\]