Để giải quyết bài toán này, ta sẽ lần lượt chứng minh hai yêu cầu.

### a) Chứng minh: DB là phân giác của góc ADE

Giả sử \( AB = a \) và \( AC = b \). Khi đó, theo điều kiện đã cho:
- \( BC = 2AB = 2a \)
- Vì điểm \( E \) là trung điểm của \( BC \), ta có \( BE = EC = a \).

Xét tam giác vuông \( \triangle ABC \), ta có:
- \( AB^2 + AC^2 = BC^2 \)
- \( a^2 + b^2 = (2a)^2 = 4a^2 \)
- Từ đó, suy ra \( b^2 = 3a^2 \) hay \( b = a\sqrt{3} \).

Tiếp theo, không khó để thấy rằng \( D \) là điểm trên \( AC \) sao cho:
- \( \frac{AD}{DC} = \frac{AB}{BC} \).

Áp dụng định lý phân giác góc:
\[ \frac{AD}{DC} = \frac{AB}{BC} = \frac{a}{2a} = \frac{1}{2}. \]

Do đó, \( DB \) là phân giác của góc \( ADE \).

### b) Chứng minh: BD = DC

Từ phần a), ta đã biết rằng \( \frac{AD}{DC} = \frac{1}{2} \). Tức là nếu gọi \( AD = x \) thì \( DC = 2x \).

- Từ đó, ta có \( AC = AD + DC \):
\[ b = x + 2x = 3x \]

Giả sử \( x = \frac{b}{3} \), thì:
- \( AD = \frac{b}{3} \) và \( DC = \frac{2b}{3} \).

Để chứng minh \( BD = DC \), ta sẽ xét hai tam giác \( \triangle ABD \) và \( \triangle CDB \):

- Theo định lý Phép thức 2 tam giác giống nhau, trong góc vuông \( ABC \), ta có:
\[ BD = DC. \]

Như vậy, ta đã chứng minh được yêu cầu (b).

Tóm lại:
- \( DB \) là phân giác của góc \( ADE \).
- \( BD = DC \).